Ciało algebraicznie domknięte

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ciało algebraicznie domknięte F to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w F.

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że K jest rozszerzeniem algebraicznym F, wynika, że K=F.

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian w(x) = x^2 + 1 nie ma pierwiastków w tym ciele.

Rozszerzenie ciała F, które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała F.

Na przykład domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są i oraz -i).

Ponieważ dla każdego ciała F istnieje jego rozszerzenie K będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad F należących do K jest rozszerzeniem algebraicznym F oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się "zasadniczym twierdzeniem algebry" i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli F jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych n, m i dla dowolnych wielomianów f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n) o współczynnikach z ciała F następujące warunki są równoważne:

  • układ równań f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n)=0,\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)=0 ma rozwiązanie w F;
  • ideał (f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)) jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów F[X_1,X_2,\ldots,X_n].

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany g_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, g_m(X_1,X_2,\ldots,X_n) o współczynnikach z ciała F takie, że

g_1\cdot f_1 + \cdots + g_m\cdot f_m = 1.

Domknięcie algebraiczne ciała \mathbb Z_p[edytuj | edytuj kod]

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała GF(3) = \mathbb Z_3 = \{0,1,2\}:

Dla każdego k = 1,2,\ldots istnieje jedyne ciało GF(3^k) o 3^k elementach. Na przykład, ciało GF(3^2) można reprezentować jako \mathbb Z_3(\sqrt 2) = \{0,1,2, \; \alpha,\, \alpha +1,\, \alpha + 2,\; 2\alpha,\, 2\alpha +1, \,2\alpha + 2\}, gdzie \alpha^2=2.

Dla każdego m, n\in \mathbb N\setminus \{0\}, GF(3^m) \subseteq GF(3^n) wtedy i tylko wtedy, gdy m jest dzielnikiem liczby n. Więc dla każdego m, n można znaleźć skończone ciało C zawierające GF(3^m) i GF(3^n), np ciało GF(3^{mn}). Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał GF(3^n) jest znowu ciałem, które oznaczamy \mathbb{\overline Z}_3.

Każdy wielomian z współczynnikami w ciele \mathbb{\overline Z}_3 ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym  GF(3^n), więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała GF(3^n); to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem GF(3^{n'}) \subseteq \mathbb {\overline Z}_3.

Więc ciało \mathbb {\overline Z}_3 (zbiór nieskończony ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych[edytuj | edytuj kod]

Domknięcie algebraiczne \mathbb{\overline Q} ciała liczb wymiernych \mathbb{Q} nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała \mathbb{\overline Q} nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało \mathbb{\overline Q} jest przeliczalne, a ciała \mathbb{R} i \mathbb{C} są nieprzeliczalne. Dowód Cantora. używając metody z nowego przez jego stworzonej teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN 1978.