Ciało liczbowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało liczbowe - w matematyce każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych \mathbb Q. Innymi słowy, jest to ciało zawierające \mathbb Q jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad \mathbb Q jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma[edytuj | edytuj kod]

Każde ciało liczbowe K jest przestrzenią liniową nad \mathbb Q, które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako [K:\mathbb Q] i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała K, z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad \mathbb Q.

Załóżmy, że K jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad \mathbb Q) równym n. Ponieważ K jest n-wymiarową przestrzenią wektorową nad \mathbb Q, to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę e_1, e_2, ..., e_n \in K tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element x \in K ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb Q taki, że x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n = x. Reprezentacja regularna elementu x to macierz A=\{a_{ij}\}, która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

x e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j, \quad a_{ij}\in\mathbb{Q}.

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów x,y \in K i ich reprezentacji regularnych A(x), A(y), zachodzi A(xy)=A(x)A(y), tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy \{e_i\}, a tylko od elementu x \in K. Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:

Tr(x)=Tr(A(x))
N(x)=N(A(x))

Trywialne wnioski z tych definicji to:

Tr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)
Tr(\lambda x)=\lambda Tr(x)
N(xy)=N(x)N(y)
N(\lambda x)=\lambda^n N(x)

gdzie \lambda jest dowolnym elementem K, zaś n=[K:\mathbb Q].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]