Ciało uporządkowane

Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:

1. Zbiór K jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: $K = -D \cup \{0\} \cup D$
2. Zbiór D jest zamknięty ze względu na dodawanie: $D + D \subset D$
3. Zbiór D jest zamknięty ze względu na mnożenie: $D \cdot D \subset D$

gdzie $-D = \{-x: x \in D\}$, $D + D = \{x + y: x, y \in D\}$ oraz $D \cdot D = \{x \cdot y: x, y \in D\}$.

Można to wypowiedzieć tak: Ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim lub większym od zera (oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

1. Dla każdego a ∈ K ma miejsce jedna z trzech zależności: a = 0, a > 0, -a > 0.
2. Jeśli a > 0 i b > 0, to a + b > 0
3. Jeśli a > 0 i b > 0, to a · b >0.

• Nierówność a > 0 oznacza, że a ∈ D, a nierówność -a > 0 oznacza, że a ∈ -D.
• Nierówność a > b oznacza, że a - b > 0.

Własności

• Dla każdych dwóch elementów a, b ∈ K albo a = b, albo a > b, albo b > a. Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało K.
• Jeśli a > 0 i b < 0, to ab < 0.

Dowód. a > 0 i -b > 0, czyli -ab > 0, skąd ab < 0.

• Jeśli c > 0 i a > b, to ac > bc.

Dowód. ac - bc = (a - b) c > 0. Dlatego ac > bc.

• Jeśli ac > bc i 'c > 0, to a > b.

Dowód. a ≠ b, bo jeśli a = b, to ac = bc, co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli b > a, to bc > ac, co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego a > b.

• Jeśli c < 0 i a > b, to ac < bc.
• Dla każdego niezerowego elementu a ciała K zachodzi nierówność a² = a · a > 0. W szczególności 1² = 1 > 0.
• $n = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n \text{ razy}} > 0$, czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
• Jeśli a > 0, to a^-1 > 0.

Dowód. a · a^-1 = 1 > 0 i dlatego a^-1 > 0.

• Jeśli $bc > 0$, to $\frac{b}{c} > 0$.

Dowód. $\frac{b}{c} = \frac{bc}{c^2} = bc \frac{1}{c^2} > 0$

Przykłady

• Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane.
• Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
• Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
  • ciało liczb zespolonych,
  • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe

W każdym ciele K charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych $\mathbb{Z} = \{n: n = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n \text{ razy}}\}$. Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu $a \in K$ istnieje taka liczba całkowita n, że a < n.

• Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R$ z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne.
• Ciało liczb rzeczywistych $\mathbb R$ może być uporządkowane tylko w jeden sposób.

Zobacz też

• ciało słabo uporządkowane
• ciało (formalnie) rzeczywiste
• ciało algebraicznie domknięte

Bibliografia

• ван дер Варден Б. Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.)
• Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.)