Ciało uporządkowane

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało uporządkowaneciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:

  1. Zbiór K jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: K = -D \cup \{0\} \cup D
  2. Zbiór D jest zamknięty ze względu na dodawanie: D + D \subset D
  3. Zbiór D jest zamknięty ze względu na mnożenie: D \cdot D \subset D

gdzie -D = \{-x: x \in D\}, D + D = \{x + y: x, y \in D\} oraz D \cdot D = \{x \cdot y: x, y \in D\}[1][2].

Można to wypowiedzieć tak: Ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim lub większym od zera (oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

  1. Dla każdego aK ma miejsce jedna z trzech zależności: a = 0, a > 0, -a > 0.
  2. Jeśli a > 0 i b > 0, to a + b > 0
  3. Jeśli a > 0 i b > 0, to a · b >0[3].
  • Nierówność a > 0 oznacza, że aD[4], a nierówność -a > 0 oznacza, że a ∈ -D[5].
  • Nierówność a > b oznacza, że a - b > 0[6].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Dla każdych dwóch elementów a, bK albo a = b, albo a > b, albo b > a. Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało K.
  • Jeśli a > 0 i b < 0, to ab < 0.

Dowód. a > 0 i -b > 0, czyli -ab > 0, skąd ab < 0.

  • Jeśli c > 0 i a > b, to ac > bc.

Dowód. ac - bc = (a - b) c > 0. Dlatego ac > bc.

  • Jeśli ac > bc i c > 0, to a > b.

Dowód. ab, bo jeśli a = b, to ac = bc, co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli b > a, to bc > ac, co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego a > b.

  • Jeśli c < 0 i a > b, to ac < bc.
  • Dla każdego niezerowego elementu a ciała K zachodzi nierówność a2 = a · a > 0. W szczególności 12 = 1 > 0.
  • n = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n \text{ razy}} > 0, czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
  • Jeśli a > 0, to a-1 > 0.

Dowód. a · a-1 = 1 > 0 i dlatego a-1 > 0.

  • Jeśli bc > 0, to \frac{b}{c} > 0.

Dowód. \frac{b}{c} = \frac{bc}{c^2} = bc \frac{1}{c^2} > 0

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ciała archimedesowe[edytuj | edytuj kod]

W każdym ciele K charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych \mathbb{Z} = \{n: n = \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n \text{ razy}}\}. Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu a \in K istnieje taka liczba całkowita n, że a < n[8].

  • Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych \mathbb R z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9].
  • Ciało liczb rzeczywistych \mathbb R może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.)
  2. W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
  3. ван дер Варден Б. Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.)
  4. Mówimy wtedy, że a jest większy od zera.
  5. Mówimy wtedy, że a jest mniejszy od zera i zapisujemy to a < 0.
  6. Mówimy wtedy, że a jest większy od b.
  7. E. Artin, op. cit., s. 66-70
  8. Artin, op. cit., s. 70
  9. 9,0 9,1 Artin, op. cit., s. 71

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • ван дер Варден Б. Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.)
  • Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.)