Ciąg (teoria grup)

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje

Niech $H\leqslant G,$ czyli $H$ będzie podgrupą w grupie $G.$ Skończony ciąg podgrup grupy $G,$ włączając w to $H$ oraz $G,$ nazywa się ciągiem (podnormalnym) od $H$ do $G$ (lub między $H$ a $G$), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

$H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{n-1}\trianglelefteq H_{n}=G\qquad (1)$

Podgrupy $H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}$ nazywa się wyrazami ciągu $(1).$ Grupy ilorazowe $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\ldots ,H_{n}/H_{n-1}$ nazywa się ilorazami ciągu $(1).$ Ciąg od podgrupy trywialnej $E$ do podgrupy niewłaściwej $G$ nazywa się krótko ciągiem grupy $G.$ Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów $H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}$ ciągu $(1)$ jest normalny w $G,$ to ciąg $(1)$ również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu $(1)$ mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak $H_{i-1}\triangleleft H_{i}$ dla każdego $i=1,\dots ,n,$ to ciąg $(1)$ nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

$H=\,J_{0}\trianglelefteq \,J_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq \,J_{n-1}\trianglelefteq \,J_{n}=G\qquad (2)$

od $H$ do $G$ nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu $(1),$ jeżeli każdy wyraz ciągu $(1)$ jest również wyrazem ciągu $(2).$ Rozdrobnienie ciągu $(1)$ otrzymuje się więc z $(1)$ poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów $(1)$. Jeżeli jednak $(2)$ jest zagęszczeniem $(1)$ i przynajmniej jeden z wyrazów $(2)$ nie jest wyrazem $(1),$ to $(2)$ nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu $(1).$

Ciąg kompozycyjny

Ciąg grupy $G$ nazywa się ciągiem kompozycyjnym $G,$ jeżeli jest on ciągiem właściwym $G$ bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy ciągu kompozycyjnego $G$ nazywa się krótko ilorazami grupy $G.$ Ciąg

$E=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_{n-1}\trianglelefteq G_{n}=G$

grupy $G$ jest ciągiem kompozycyjnym $G$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ są proste.

Równoważność

Niech $G$ będzie grupą. Dwa ciągi

$E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G$

oraz

$E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G$

grupy $G$ nazywa się równoważnymi, jeżeli $n=m$ oraz ilorazy $G_{i}/G_{i-1}$ są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów $H_{j}/H_{j-1}$ $(i,j=1,2,\dots ,n).$

Uwaga

W powyższej definicji nie żąda się, by $G_{i}/G_{i-1}=H_{i}/H_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,2,\dots ,n;$ warunek mówi jedynie, że $G_{i}/G_{i-1}=H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$ dla pewnej permutacji $\sigma \in S_{n}.$ Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów $G.$

Ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma choć jeden, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że wszystkie ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy

Ciąg

$H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G$

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}$ są grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny

Ciąg

$H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G$

od $H$ do $G$ nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy $H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}$ są podgrupami centralnymi, tzn. $[G,H_{i+1}]\leqslant H_{i}$ (dla $i=1,\dots ,m;$ gdzie $[G,K]$ oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ $[G,H_{i}]\leqslant H_{i-1}\leqslant H_{i},$ to w szczególności $H_{i}$ jest normalna w $G;$ dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy $H_{i}/H_{i-1}$ były przemienne ze wszystkimi ilorazami $G/H_{i}$ $(i=1,\dots ,m).$

Przykłady

Literą $E$ oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

• $E\triangleleft S_{3}$ jest ciągiem grupy symetrycznej $S_{3},$ a $E\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}$ jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą $A_{3}$), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym $S_{3},$ ponieważ ilorazy $A_{3}/E\simeq A_{3}\,(\simeq C_{3})$ oraz $S_{3}/A_{3}\simeq C_{2}$ są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
• $E\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ jest ciągiem normalnym grupy $S_{4}.$ Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym $S_{4},$ ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup $U_{1}=\{\iota ,(12)(34)\}$ lub $U_{2}=\{\iota ,(13)(24)\}$ bądź $U_{1}=\{\iota ,(14)(23)\}$ między $E=\{\iota \}$ a $V_{4}=\{\iota ,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów $E\triangleleft U_{i}\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}$ jest ciągiem kompozycyjnym $S_{4}$ $(i=1,2,3),$ przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
• Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest $\mathbb {Z} .$ Istotnie, dowolny ciąg ma postać

$0\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} \qquad (3)$

gdzie $m_{2}|m_{1},m_{3}|m_{2},\dots ,m_{n}|m_{n-1}.$ Jeśli $m_{0}$ jest wielokrotnością $m_{1}$ oraz $m_{0}\neq m_{1},$ to

$0\mathbb {Z} \triangleleft m_{0}\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z}$

jest właściwym zagęszczeniem $(3)$ (symbol $0\mathbb {Z} =\left\{{\bar {0}}\right\}$ oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg $\mathbb {Z}$ ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg $\mathbb {Z}$ nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.

Diagram podzielności liczby 12.

• Niech $\langle a\rangle$ będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy

$\langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{3}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{4}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle$

są ciągami kompozycyjnymi $\langle a^{1}\rangle =\langle a\rangle$ (przy czym $\langle a^{12}\rangle =\{a^{0}\}$ jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z $C_{2},C_{3},C_{2};\ C_{2},C_{2},C_{3};\ C_{3},C_{2},C_{2}.$ Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też

• grupa rozwiązalna, grupa nilpotentna
• lemat Zassenhausa
• prawo modularności Dedekinda

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce