Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

• sinus – oznaczany w Polsce $\sin\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku $\alpha\;$) i długości przeciwprostokątnej $c\;$;
• cosinus (lub kosinus) – oznaczany $\cos\;$ – stosunek długości przyprostokątnej przyległej $b\;$ do tego kąta $\alpha\;$ i przeciwprostokątnej $c\;$;
• tangens – oznaczany w Polsce $\operatorname{tg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta $\alpha\;$ i długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta;
• cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce $\operatorname{ctg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta $\alpha\;$ i długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta;
• secans (sekans) – oznaczany w Polsce $\sec\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego $\alpha\;$; odwrotność cosinusa;
• cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce $\operatorname{cosec}\;$ lub $\operatorname{csc}\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw kąta ostrego $\alpha\;$; odwrotność sinusa.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

	$\tfrac{a}{\cdot}$	$\tfrac{b}{\cdot}$	$\tfrac{c}{\cdot}$
$\tfrac{\cdot}{a}$	$1\$	$\operatorname{ctg}\ \alpha$	$\csc\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{b}$	$\operatorname{tg}\ \alpha$	$1\$	$\sec\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{c}$	$\operatorname{sin}\ \alpha$	$\operatorname{cos}\ \alpha$	$1\$

Dla miar kątów $\alpha\;$ większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych $\alpha\;$ powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

• sinus versus:

$\operatorname{versin}\ \alpha=1-\cos \alpha$

• haversin (ang. half of the versine):

$\operatorname{haversin}\ \alpha = \tfrac{1}{2}\ \operatorname{versin}\ \alpha$

• cosinus versus:

$\operatorname{covers}\ \alpha=1-\sin \alpha$

• exsecans:

$\operatorname{exsec}\ \alpha=\sec \alpha-1$

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi.

Definicja za pomocą kąta skierowanego

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli kąt skierowany $\alpha\;$ ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych $O\;$, pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu $O\;$ oraz zawierającą pewien punkt $M = (a, b)\;$ różny od $O\;$, to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego $\alpha\;$ określa się wzorami:

$\sin \alpha =\tfrac{b}{r}$

$\cos \alpha =\tfrac{a}{r}$

$\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}$

$\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}$

$\sec \alpha =\tfrac{r}{a}$

$\csc \alpha =\tfrac{r}{b}$

gdzie $r = |OM|\;$.

Stosunki te nie zależą od położenia punktu $M\;$ na ramieniu kąta $\alpha\;$ (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego $\theta\;$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

$\sin \theta =|AC|\$

$\cos \theta =|OC|\$

$\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\$

$\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\$

$\sec \theta =|OE|\$

$\csc \theta =|OF|\$

Dla miar kątów spoza przedziału $[0,\pi]\;$ konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:

$A=\left(\cos \theta,\sin \theta\right)$

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku $DA\;$ można przyjąć pole wycinka $OBDA\;$ – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do $OBDA\;$.

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

• Sinus, czyli połowa długości cięciwy $AB\;$, był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
• Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek $AE\;$ jest styczny do okręgu.
• Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka $OE\;$, odcinanego przez styczną (tangens).
• Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego $\angle AOF$. Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości:

$\begin{align} \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \mbox{tg}\ x &= x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad |x|<\tfrac{\pi}{2} \end{align}$

gdzie $B_n\;$ to liczby Bernoulliego

$\begin{align} \mbox{ctg}\ x&= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi\\ \sec x &= 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad |x|< \tfrac{\pi}{2} \end{align}$

gdzie $E_n\;$ to liczby Eulera

$\begin{align} \csc x &= \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =\\ &= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi \end{align}$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych $(s,c)\;$ taka, że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$:

$\begin{cases} s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\ s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\ c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\ 0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1 \end{cases}$

Tymi funkcjami są:

$s(x)=\sin x, \quad c(x)=\cos x$

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje $s(x)\;$ oraz $c(x)\;$ spełniające poniższe trzy warunki:

$\begin{cases} s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{cases}$

Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

$y^{\prime\prime}=-y$

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

$\begin{cases} y(0)=0\\ y\,^\prime(0)=1 \end{cases}$

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

$\begin{cases} y(0)=1\\ y\,^\prime(0)=0 \end{cases}$

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

$\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\dots}}}}$

$\operatorname{tg}\ x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\dots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\dots}}}}$

$\operatorname{ctg}\ x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\dots}}}}$

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.

Własności

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Przebieg zmienności funkcji

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina i asymptoty

• Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
• Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.
• Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci $k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.
• Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$, a cotangens i cosecans w punktach postaci $x=k\pi\;$. Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

Przeciwdziedzina

• Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału $[-1;1]\;$. Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$.

Ekstrema

• Maksymalną wartość, w obu przypadkach $1\;$, sinus przyjmuje w punktach $x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$, a cosinus w punktach $x=2k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest całkowita.
• Minimalną wartość, dla obu funkcji $-1\;$, sinus przyjmuje w punktach $x=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$, a cosinus w punktach $x=\pi+2k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest całkowita.

Miejsca zerowe

• Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci $x=k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest całkowita.
• Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest całkowita.

Parzystość i nieparzystość

• Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:

  $\begin{array}{l l} \sin (-x) = -\sin x & \cos (-x) = \cos x \\ \mbox{tg}(-x) = -\mbox{tg}\ x & \mbox{ctg} (-x) = -\mbox{ctg}\ x \\ \mbox{sec} (-x) = \mbox{sec}\ x & \mbox{csc} (-x) = -\mbox{csc}\ x\end{array}$

Okresowość

• Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba $2\pi\;$ a tangensa i cotangensa $\pi\;$:

  $\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k\pi) & \cos x = \cos(x + 2k\pi) \\ \mbox{tg}\ x = \mbox{tg} (x + k\pi) & \mbox{ctg}\ x = \mbox{ctg} (x + k\pi) \\ \mbox{sec}\ x = \mbox{sec} (x + 2k\pi) & \mbox{csc}\ x = \mbox{csc} (x + 2k\pi)\end{array}$

gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.

Ciągłość i różniczkowalność

• Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

Odwracalność

• Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.

Własności algebraiczne

• Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
• Liczby $\sin x\;$ oraz $\cos x\;$ są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci $x=r\pi\;$, gdzie $r\;$ jest liczbą wymierną.

Wykresy

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą).

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor $\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]$. Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

• 

  Sinusoida: wykres funkcji $y = \sin x\;$

• 

  Cosinusoida: wykres funkcji $y = \cos x\;$

• 

  Tangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{tg}\ x\;$

• 

  Cotangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{ctg}\ x\;$

• 

  Wykres funkcji secans $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}\;$

• 

  Wykres funkcji cosecans $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}\;$

Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°:

radiany	$0\;$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{12}$	$\frac{\pi}{2}$
stopnie	$0^\circ\;$	$15^\circ\;$	$30^\circ\;$	$45^\circ\;$	$60^\circ\;$	$75^\circ\;$	$90^\circ\;$
$\sin\;$	$0\;$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$1\;$
$\cos\;$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$0\;$
$\operatorname{tg}\;$	$0\;$	$2-\sqrt{3}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1\;$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	nieokreślony
$\operatorname{ctg}\;$	nieokreślony	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	$0\;$
$\sec\;$	$1\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	nieokreślony
$\csc\;$	nieokreślony	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	$2\;$	$\sqrt{2}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$1\;$

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci $\tfrac{n\pi}{m}, n\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N_+}$ dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka $\tfrac{n}{m}$ liczba $m\;$ jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537). W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1° gdyż $1^\circ=\tfrac{\pi}{180}$ a $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na $m\;$ jest identyczny jak warunek konstruowalności $m\;$-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału $[0,\tfrac{\pi}{2})\;$ czyli $[0^\circ,90^\circ)\;$:

	I ćwiartka	II ćwiartka		III ćwiartka		IV ćwiartka
$\phi\;$	$90^\circ-\alpha\;$	$90^\circ+\alpha\;$	$180^\circ-\alpha\;$	$180^\circ+\alpha\;$	$270^\circ-\alpha\;$	$270^\circ+\alpha\;$	$360^\circ-\alpha\;$
	$\tfrac{\pi}{2}-\alpha\;$	$\tfrac{\pi}{2}+\alpha\;$	$\pi-\alpha\;$	$\pi+\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi-\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi+\alpha\;$	$2\pi-\alpha\;$
$\sin{\phi}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$
$\cos{\phi}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$
$\operatorname{tg}{\phi}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$
$\operatorname{ctg}{\phi}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać $90^\circ \pm \alpha$ bądź $270^\circ \pm \alpha$, w przypadkach $0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha$ oraz $180^\circ \pm \alpha$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli:

Ćwiartki układu współrzędnych

	I ćwiartka	II ćwiartka	III ćwiartka	IV ćwiartka
$\sin\ \alpha$	+	+	–	–
$\cos\ \alpha$	+	–	–	+
$\operatorname{tg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\operatorname{ctg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\sec\ \alpha$	+	–	–	+
$\csc\ \alpha$	+	+	–	–

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,$

• definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):

$\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}$

Geometryczny dowód wzoru $\sin (\alpha+\beta) =\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

$\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,$

$\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,$

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2$

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha$

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

$\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}$

$\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}$

• iloczyn w postaci sumy:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2$

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2$

$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2$

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

$\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$

$\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$

$\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$

$\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$

$\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\begin{matrix} \color{red}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{red}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{red}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{red}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}$

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości:

$\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2\, x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg}\, x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg}\, x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

$\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$,

$\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$.

Wzory na n-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane.

Całki funkcji trygonometrycznych

Podstawowe całki to:

$\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C,$

$\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C,$

$\int\operatorname{tg}\, x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C,$

$\int\operatorname{ctg}\, x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C,$

$\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg}\, x|+C,$

$\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg}\, x|+C,$

gdzie $C\in\mathbb{R}$.

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R(\sin x, \cos x)\;$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie:

$t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}$

Wówczas:

$\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2}$

$\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}$

$\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2}$

$\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t}$

$\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2}$

$\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

• okresowość (w tym okres podstawowy),
• tożsamości trygonometryczne,
• miejsca zerowe,
• punkty nieokreśloności:
  • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
  • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci $\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\;$, a cotangens – punktów postaci $k\pi\;$, gdzie $k\;$ jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od $1\;$, w szczególności:

$\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
$\sin(x\pm iy)$	$\sin x \cosh y\;$	$\pm \cos x\sinh y\;$	$\sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}$
$\cos(x\pm iy)$	$\cos x \cosh y\;$	$\mp \sin x\sinh y\;$	$\sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}$
$\operatorname{tg}(x\pm iy)$	$\frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\sqrt{\frac{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^2}}$
$\operatorname{ctg}(x\pm iy)$	$-\frac{\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\sqrt{-\frac{\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}$

Argument $\varphi\;$ oblicza się według wzorów:

$\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{Im}\ \omega}{|\omega|}$

$\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{Re}\ \omega}{|\omega|}$,

gdzie $\omega\;$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z\;$

Wynika z niego, iż:

$\sin z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\cos z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

$\operatorname{tg} z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{ (e^{iz} + e^{-iz})i}$

$\operatorname{ctg} z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}}i$

$\sec z = \tfrac{2}{e^{iz} + e^{-iz}}$

$\csc z = \tfrac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}}$

gdzie:

• $e\;$ jest stałą, zwaną podstawą logarytmu naturalnego
• $i\;$ jest jednostką urojoną

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy

• Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku
• 

  Funkcja sinus

• 

  Funkcja cosinus

• 

  Funkcja tangens

• 

  Funkcja cotangens

• 

  Funkcja secans

• 

  Funkcja cosecans

• 

  Kod kolorów

Związki z innymi funkcjami

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres.

Nazwa	Zapis	Odwrotna do	Dziedzina	Przeciwdziedzina
arcus sinus	$y=\operatorname{arcsin}\, x$	$x=\sin y\;$	$[-1; 1]\;$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cosinus	$y=\operatorname{arccos}\, x$	$x=\cos y\;$	$[-1; 1]\;$	$[0, \pi]\;$
arcus tangens	$y=\operatorname{arctg}\,x$	$x=\operatorname{tg}\,y$	$\mathbb{R}$	$(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})$
arcus cotangens	$y=\operatorname{arcctg}\,x$	$x=\operatorname{ctg}\,y$	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)\;$
arcus secans	$y=\operatorname{arcsec}\,x$	$x=\sec y\;$	$\mathbb{R}\setminus \ (-1; 1)$	$[0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$
arcus cosecans	$y=\operatorname{arccsc}\,x$	$x=\csc y\;$	$\mathbb{R}\setminus\ (-1; 1)$	$[-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]$

Harmoniki

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora

Funkcje postaci

$u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;$,

gdzie:

• $A\;$ – amplituda
• $\omega\;$ – prędkość kątowa (pulsacja)
• $\phi\;$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

$x^{\prime\prime}=-kx$

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczne

Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób:

$\left\{ \begin{matrix} W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{matrix} \right.$

Jeśli warunek W2 zmienić na:

$\begin{matrix} W2^\prime \colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2) \end{matrix}$

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh). Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

$x^2+y^2=1\;$

należy wziąć hiperbolę o równaniu

$x^2-y^2=1\;$

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny.

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych:

$\begin{align} \sinh x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \cosh x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}\\ \operatorname{tgh}\,x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \operatorname{ctgh}\,x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \end{align}$

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych:

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\;$

$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\;$

$\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x\;$

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone.

Niektóre zastosowania

Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

Geometria

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów

Oznaczenia

Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:
Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

(R jest promieniem okręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota:

$c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;$

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana:

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną $\operatorname{haversin}\ x = 1-\cos \tfrac{x}{2}$, pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze.

Wzory na pole trójkąta

Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne:

$S=\frac{bc\sin \alpha}{2}$

lub

$S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\;$

lub

$S=\frac{a^2+b^2+c^2}{4(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)}$

gdzie:

• $a,b,c\;$ to boki trójkąta,
• $\alpha,\beta,\gamma\;$ to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio $a,b\;$ i $c\;$,
• $R\;$ to promień koła opisanego.

Iloczyny wektorów

W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach i długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta $\theta\;$ między wektorami:

• iloczyn skalarny,

  $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \cos \theta$,

• iloczyn wektorowy,

  $\vec a \times \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \sin \theta \, \vec n$,

gdzie $\vec n$ jest ustalonym wektorem jednostkowym prostopadłym tak do $\vec a$, jak i do $\vec b$.

Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe

Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferyczna

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Analiza matematyczna

Szereg Fouriera

Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje $\left\{ \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \tfrac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \tfrac{\cos nx}{\sqrt \pi} \right\}$ tworzą dla dowolnego $n \in \mathbb{N}_{+}$ układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe $S(x)\;$ spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

$S(x) = \tfrac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \tfrac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \tfrac {2n\pi}{T}x \right)$

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

Funkcja Weierstrassa

Funkcja Weierstrassa

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$,

gdzie $a\;$ jest pewną liczbą z przedziału $(0,1)\;$ natomiast $b\;$ jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek $ab>1+\tfrac{3}{2}\pi$.

Funkcja Dirichleta

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych:

$1_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)$

Teoria liczb

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład:

$\sum_\begin{smallmatrix} 1\leqslant x< n,\\ \operatorname{NWD}(x,n)=1 \end{smallmatrix}\!\!\!\!\!\!\!\!\cos \tfrac{2\pi x}{n}=\mu(n),$

gdzie $\mu(n)\;$ to tzw. funkcja Möbiusa.

Zastosowania poza matematyką

Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

• akustyka: np. analiza harmoniczna,
• architektura, mechanika: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
• astronomia, nawigacja, kartografia, oceanografia: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
• chemia i krystalografia: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
• ekonomia (w szczególności analiza rynków finansowych), probabilistyka, statystyka, meteorologia: np. analiza harmoniczna szeregów czasowych
• elektryka i elektronika: np. przebiegi sinusoidalne prądu zmiennego
• fizyka: np. ruch harmoniczny, prawo załamania światła, zob. też sekcję Harmoniki tego artykułu,
• fonetyka, analiza języka naturalnego: analiza harmoniczna głosek
• geodezja, inżynieria lądowa: w szczególności niwelacja trygonometryczna,
• geofizyka, sejsmologia: badanie fal sejsmicznych,
• grafika komputerowa: np. symulowanie odbicia i załamania światła w ray tracingu
• kompresja obrazu: np. przy kompresji JPEG
• kryptologia: w związku z zastosowaniami w teorii liczb,
• obrazowanie medyczne: tomografia komputerowa i USG wymagają obliczeń trygonometrycznych
• optyka: prawo załamania światła, polaryzacja fali,
• robotyka: np. algorytm sterowania sinusoidalnego,
• teoria chaosu,
• teoria muzyki: np. alikwoty, szereg harmoniczny.

Polskie nazwy

Poloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak i "kosinus, kotangens, kosekans, sekans". Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego, jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych (w nawiasie proponowany skrót):

• sinus – wstawa (wst),
• cosinus – dostawa (dost),
• tangens – styczna (sty),
• cotangens – dostyczna (dosty),
• secans – sieczna (sie),
• cosecans – dosieczna (dosie),

Propagował je potem m.in. Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.

W latach 1918-1924 polskie nazwy próbował forsować rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się.

Oznaczenia funkcji trygonometrycznych

W różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych:

	sinus	cosinus	tangens	cotangens
kraje anglojęzyczne	sin	cos	tan (czasem tg)	cot (czasem ctg, ctn)
Chiny	sin	cos	tan/tg	cot/ctg
Finlandia	sin	cos	tan	cot
kraje francuskojęzyczne	sin	cos	tan/tang/tg	cotan/cotg/cot/ctg
kraje hiszpańskojęzyczne	sen	cos	tan/tg/tag	cot/cotg/ctg
Holandia	sin	cos	tan	cot
Indonezja	sin	cos	tan	cot
Japonia	sin	cos	tan	cot
Korea	sin	cos	tan	cot
Litwa	sin	cos	tg	ctg
kraje niemieckojęzyczne	sin	cos	tan/tg	cot/ctg
kraje portugalskojęzyczne	sen/sin	cos	tan/tg	cot/ctg
Rosja	sin	cos	tg	ctg
Turcja	sin	cos	tan	cot
Ukraina	sin	cos	tg	ctg
Węgry	sin	cos	tg	ctg
Włochy	sen/sin	cos	tan/tg	cot/ctg

Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc.

Zobacz też

• sinus i cosinus całkowy
• funkcja sinc
• cosinusy kierunkowe
• kąt między dwiema krzywymi
• sinusoida zagęszczona

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
• Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. ISBN 83-85336-06-0.
• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.