Rzymski system zapisywania liczb

Rzymski (łaciński) system zapisywania liczb – addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używa 7 znaków.

Historia

System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków. Te niewygody nie występują w systemie pozycyjnym.

Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur ↁ oznaczający 5000, oraz ↂ oznaczający 10000. Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000.

Liczby 1/2, 500 i 1000

John Wallis w 1655 roku zaproponował użycie symbolu ↀ, oznaczającego 1000 (zamiennie z M), do oznaczania nieskończoności; później dla wygody ten symbol został zniekształcony do znaku ∞, i od tej pory jest on stosowany w tym właśnie znaczeniu.

10 000 CCDD 5000 DD 1000 CD

Liczba zero

Moneta semis (1/2 lub 6/12 asa). Jej nominał został zapisany za pomocą litery S.

Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby. Wartość 0,5 jest reprezentowana przez znak S (łac. Semis - pół) oraz ł (skreślone l).

Zwyczaje typograficzne

Rok wydania CIƆ IƆ C LXX IV (1674) na karcie tytułowej dzieł zebranych Matthiolego

W typografii XVIII-w. na kartach tytułowych książek spotykamy wariant zapisu tych liczb z zastosowaniem odwróconej litery C:

• 1000 CIƆ (oprócz M),
• 500 IƆ (oprócz D)

Przyjęte było także (obecnie rzadkość) oddzielanie kropką i spacją części liczby oznaczających tysiące, setki i dziesiątki z jednościami, np. M. DC. LXI = 1661.

System rzymski stosowany był w łacińskiej części Europy do końca średniowiecza. Do zapisu dat (zwłaszcza numeru roku), stosowany nawet w wieku XX (np. rok wydania książki, rok produkcji filmu).

Odejmowanie w liczbach rzymskich

Odejmowanie przy zapisywaniu cyframi rzymskimi jak przy zapisie IV czy IX albo XC nie było popularne w zapisie stosowanym przez Rzymian, a upowszechniło się dopiero w średniowieczu.

Obecnie przyjęte jest użycie odejmowania w zapisie liczb:

IX = 9

XL = 40

XC = 90

CM = 900

Dawniej stosowano bardziej złożone odejmowania, np. w zapisie daty MDCXIC = 1689.

Dzisiejsze użycie liczb rzymskich

Do dziś jest jednak używany zwyczajowo do zapisywania liczb w pewnych szczególnych przypadkach. Na przykład w Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), numery klas i lat studiów, wieki, tomy dzieł, numery pięter, wydziałów w instytucjach. Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach).

Cyfry rzymskie nadal bywają wykorzystywane do oznaczania miesięcy w zapisie daty, mimo upowszechnienia się systemu opartego na cyfrach wyłącznie arabskich. Wykorzystanie zapisu rzymskiego pozwala uniknąć dwuznaczności wywołanych stosowaniem różnych wariantów kolejności poszczególnych członów w zapisie (vide np. popularny w USA sposób podawania najpierw miesięcy a potem dni wobec czego zapis „08 11 2010” może być rozumiany albo jako 8 listopada albo 11 sierpnia, natomiast zapis 8 XI 2010 można rozumieć tylko w jeden sposób; przy zapisie z udziałem cyfr rzymskich najczęściej pomija się początkowe 0 przy dniach miesiąca o wartości jednocyfrowej).

Cyfry rzymskie powszechnie stosuje się również w numeracji stuleci (np. XIX wiek — nie dotyczy to tradycji anglosaskiej, gdzie powszechnie stosuje się cyfry arabskie), w imionach władców i papieży (np. Jan Paweł II), nazwach wydarzeń historycznych (II wojna światowa).

Użycie liczby rzymskiej wskazuje czasami na liczebnik porządkowy.

Sposób zapisu

W systemie rzymskim do zapisu liczb używa się 7 liter, z których każda oznacza liczbę według podanej tabeli:

Znak	Wartość
I	1
II	2
III	3
IV	4
V	5
VI	6
VII	7
VIII	8
IX	9
X	10
XX	20
XXX	30
XL	40
L	50
LX	60
LXX	70
LXXX	80
XC	90
C	100
CC	200
CCC	300
CD	400
D	500
DC	600
DCC	700
DCCC	800
CM	900
M	1 000
MD	1 500
MM	2 000

Nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000, choć można zapisywać większe liczby poprzez zapisanie liczby mniejszej 100 razy i umieszczenie jej między '|' np.:

• |MD| = 1500 * 100 = 150 000
• |XL| = 40 * 100 = 4000 (zamiast MMMM)

Innym znakiem pełniącym podobną funkcję jest nadkreślenie oznaczające pomnożenie przez 1000 np.:

• XL = 40 * 1000 = 40 000

Aby utworzyć liczbę, trzeba zestawić odpowiednie znaki, poczynając od tego oznaczającego liczbę największą do tego oznaczającego liczbę najmniejszą.

Jeżeli składnik liczby, którą piszemy, jest wielokrotnością liczby nominalnej, wtedy zapisywany jest z użyciem kilku następujących po sobie znaków, z zachowaniem zasady, by nie pisać czterech tych samych znaków po sobie (choć dawniej się jej nie stosowało), lecz napisać jeden znak wraz ze znakiem oznaczającym wartość większą o jeden rząd (liczbowy).

Sposób odczytu

Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane.

MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I) = 1164

Można spotkać zapis, w którym minimalizuje się (ogranicza) liczbę znaków. Np. 1999 to normalnie MCMXCIX, ale można również napisać MIM, choć to drugie jest już jednak modyfikacją.

Przykłady

• IV = 4
• VII = 7
• XIX = 19
• XL = 40
• XCV =95
• CM = 900
• MXXV = 1025
• MCMXCV = 1995
• MM = 2000
• MCMLVI = 1956
• MMXI = 2011
• MMMCCCXXXVIII=3338

Geneza

Poszczególne cyfry pochodzą od:

• I (1) – od pionowej kreski, oznaczającej jeden element
• V (5) – jest (górną) połową znaku X (10)
• L (50) – jest (dolną) połową znaku C (100)
• C (100) – z łac. centum – "sto"
• M (1000) – z łac. mille – "tysiąc"

Być może z czasem M zostało przekształcone (lub na odwrót) w grecki znak Φ, skąd może pochodzić D (500) będące prawą połową tego znaku.

Pochodzenie znaku X (10) jest niepewne. Jedna z teorii mówi, że znak V (5) powstał na kształt otwartej dłoni, gdzie jest 5 palców a każde dwa tworzą literę V, X (10) natomiast jest zestawieniem dwóch znaków V.

Cyfry rzymskie w algorytmach

Prosta implementacja konwertora do systemu rzymskiego w Javie (zakres nie jest tu podany, jednakże nie jestem pewien czy można kilka znaków "|" zapętlać w sobie):

public class Rome {
 
    static String toRome(int i) {
        String odp = "";
        int tmp = (i - (i % 1000)) / 1000;
        if (tmp > 0) {
            if (tmp > 3) {
                System.out.print(">5k\n");
                odp += "|" + Rome.toRome(i / 100) + "|";
                i -= (i / 100) * 100;
 
            } else {
                //System.out.print("<5k\n");
                for (int a = 0; a < tmp; ++a) {
                    odp += "M";
                }
                i -= tmp * 1000;
            }
        }
 
 
        tmp = (i - (i % 100)) / 100;
        if (tmp > 0) {
            switch (tmp) {
                case 0:
                    odp += "";
                    break;
                case 1:
                    odp += "C";
                    break;
                case 2:
                    odp += "CC";
                    break;
                case 3:
                    odp += "CCC";
                    break;
                case 4:
                    odp += "CD";
                    break;
                case 5:
                    odp += "D";
                    break;
                case 6:
                    odp += "DC";
                    break;
                case 7:
                    odp += "DCC";
                    break;
                case 8:
                    odp += "DCCC";
                    break;
                case 9:
                    odp += "CM";
                    break;
            }
        }
        i -= tmp * 100;
 
        tmp = (i - (i % 10)) / 10;
        if (tmp > 0) {
            switch (tmp) {
                case 0:
                    odp += "";
                    break;
                case 1:
                    odp += "X";
                    break;
                case 2:
                    odp += "XX";
                    break;
                case 3:
                    odp += "XXX";
                    break;
                case 4:
                    odp += "XL";
                    break;
                case 5:
                    odp += "L";
                    break;
                case 6:
                    odp += "LX";
                    break;
                case 7:
                    odp += "LXX";
                    break;
                case 8:
                    odp += "LXXX";
                    break;
                case 9:
                    odp += "XC";
                    break;
            }
        }
        i -= tmp * 10;
 
        tmp = (i - (i % 1)) / 1;
        if (tmp > 0) {
            switch (tmp) {
                case 0:
                    odp += "";
                    break;
                case 1:
                    odp += "I";
                    break;
                case 2:
                    odp += "II";
                    break;
                case 3:
                    odp += "III";
                    break;
                case 4:
                    odp += "IV";
                    break;
                case 5:
                    odp += "V";
                    break;
                case 6:
                    odp += "VI";
                    break;
                case 7:
                    odp += "VII";
                    break;
                case 8:
                    odp += "VIII";
                    break;
                case 9:
                    odp += "IX";
                    break;
            }
        }
        i -= tmp * 1;
 
        return odp;
    }
}

Konwersja liczb arabskich na liczby rzymskie w PHP:

function decimal2roman($input) {
  $roman =   Array( "M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I");
  $decimal = Array(1000,  900, 500,  400, 100,   90,  50,   40,  10,   9,    5,    4,   1);
  $romanvalue = "";
  for ($i = 0; $i < 13; $i++) {
    while ($input >= $decimal[$i]) {
      $input -= $decimal[$i];
      $romanvalue .= $roman[$i];
    }
  }
  return $romanvalue;
}

Istnieje też ciekawy algorytm, napisany w Polsce (tzw. algorytm Vaxa), znacznie krótszy i szybszy. Przykładowa implementacja w Javie:

public static String rome(int liczba)
{
        if(liczba <= 0 || liczba >= 4000)
                throw new IllegalArgumentException(String.format(
                        "Invalid roman number (%d), accepted range: [0,3999]", liczba));
        final String cyfryRzymskie = "IVXLCDM";
        StringBuilder rzymskie = new StringBuilder(16);
        for(int cyfra = 0, dzielnik = 5; liczba > 0; ++cyfra, dzielnik ^= 7)
        {
                int ileCyfr = liczba % dzielnik;
                liczba /= dzielnik;
                while(ileCyfr-- > 0)
                {
                        int indeks = cyfra;
                        if(ileCyfr > 2)
                        {
                                int nieparzystość = liczba & 1;
                                liczba -= nieparzystość;
                                indeks += nieparzystość + (ileCyfr = 1);
                        }
                        rzymskie.insert(0, cyfryRzymskie.charAt(indeks));
                }
        }
        return rzymskie.toString();
}

Przykładowa implementacja w PHP:

function rome($N){
        $c='IVXLCDM';
        for($a=5,$b=$s='';$N;$b++,$a^=7)
                for($o=$N%$a,$N=$N/$a^0;$o--;$s=$c[$o>2?$b+$N-($N&=-2)+$o=1:$b].$s);
        return $s;
}

Konwerter ten ma ograniczony zakres od 1 do 3999, choć w prosty sposób (np. w ostatnim algorytmie poprzez dopisanie kolejnych symboli w inicjacji zmiennej $c lub cyfryRzymskie) zakres ów można dowolnie rozszerzać.