Cyrkulacja

Cyrkulacja (krążenie) – operator wprowadzony początkowo w dynamice płynów następnie uogólniony na wszystkie pola wektorowe, dla danego pola definiuje wielkość skalarną. Cyrkulacja oznaczana jest zwyczajowo przez $\mathbf \Gamma$.

Dla przepływającego płynu z prędkością $\mathbf{V}$ wzdłuż zamkniętej krzywej C cyrkulacja określona jest wzorem:

$\Gamma=\oint\limits_{C}\mathbf{V}\cdot\mathbf{ds}$

gdzie $\mathbf{ds}$ oznacza wektor styczny do krzywej całkowania.

Niezerowa wartość cyrkulacji oznacza, że w analizowanym obszarze występuje zawirowanie cieczy, przy wartości dodatniej w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem całkowania.

Według twierdzenia Kutty-Żukowskiego w przepływie laminarnym cyrkulacja płynu (powietrza) wokół ciała poruszającego się w nim jest jednakowa dla każdej krzywej całkowania, a wytwarzana siła nośna jest proporcjonalna do cyrkulacji.

Definicja uogólniona

Cyrkulacja dla danego pola wektorowego $\bar{F}(x,y,z)$ wzdłuż krzywej L określa wzór:

$\Gamma = \oint\limits _{L} \bar{F} \cdot \bar{dl}$

gdzie:

$\bar{dl}$ jest infinitezymalnym wektorem stycznym do krzywej w danym punkcie.

Jeżeli krzywa L ma parametryzację $\bar{\varphi} (t)$ w przedziale $t \in [a,b]$, to powyższy wzór można zapisać jako:

$\Gamma = \oint\limits _{L} \bar{F} \cdot \bar{dl} = \int\limits _{a} ^{b} \left ( \bar{F}(t) \cdot \frac{d \bar{\varphi} }{dt} \right ) dt$

Związek cyrkulacji z rotacją

Twierdzenie Stokesa wiąże całkę po krzywej zamkniętej ze strumieniem rotacji przenikającym przez powierzchnię zamkniętą tą krzywą.

$\Gamma=\oint\limits_{C}\mathbf{V}\cdot\mathbf{ds}=\int\!\!\!\int\limits_S(\nabla\times\mathbf{V})\cdot\mathbf{dS}$

Ze związku powyższego wynika:

$\hat{n} \cdot \overline{rot F} = \lim _{S \rightarrow 0} \frac{\Gamma}{S} = \lim _{S \rightarrow 0} \frac{\oint\limits _{L} \bar{F} \cdot \bar{dl}}{S}$

Równanie to oznacza, że dla danej krzywej L ograniczającej pewną powierzchnię S, która jest uznana za płaską, $\hat n$ – jest wersorem (wektor o długości 1) prostopadłym (normalnym) do tej powierzchni, iloczyn skalarny rotacji i wersora normalnego w wybranym punkcie pola jest równy granicy do której dąży iloraz cyrkulacji po krzywej zamkniętej otaczającej jeden raz wybrany punkt przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą.