Czterowektor gęstości prądu elektrycznego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Czterowektorem gęstości prądu elektrycznego nazywamy wielkość:

J^{\mu}=\left(c\rho,J_x,J_y,J_z\right)=\left(\rho c,\rho\vec{v}\right)
(1)

gdzie:

Przy pomocy czterowektora prędkości można napisać czterowektor gęstości prądu elektrycznego w następujący sposób:

J^{\mu}=c\rho_0 u^{\mu}\;
(2)

gdzie:

  • \rho_0\; jest spoczynkową gęstością ładunku elektrycznego.
  • u^{\mu}\; jest czterowektorem prędkości.

Udowodnijmy, że definicja tensora gęstości prądu elektrycznego według wzoru (2) w szczególnej teorii względności jest zgodna z definicją (1).

J^0=c\rho_0 u^0=c\rho_0 {{1}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c\rho_0\gamma=\rho c
(3)
J^i=c\rho_0 u^i=c\rho_0{{v^i}\over{c\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\rho_0\gamma v^i=\rho v^i
(4)

Doszliśmy do wniosku na podstawie (3) i (4), że definicja (2) czterowektora gęstości prądu jest zgodna z (1).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006.