Czworościan foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Czworościan foremny
Tetraeder animation with cube.gif
Przykładowe siatki czworościanu foremnego
Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych)
siatka czworościanu foremnego z zakładkami umożliwiającymi sklejenie

Czworościan foremny (gr. tetraedr) – czworościan, którego ściany są identycznymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu to (1, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1) i (1, –1, –1).

Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.

Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni[1]. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.

Całkowite pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości a:\,

S=\sqrt{3}~a^2\approx 1,7321~a^2.

Objętość:

V=\frac{\sqrt{2}} {12}~ {a^3}\approx 0,1179~a^3.

Wysokość czworościanu foremnego, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:

h=a~\frac{\sqrt {24}}{6}=\frac{\sqrt 6}{3}~a\approx 0,8165~a.

Miara kąta między krawędzią a ścianą, w którą krawędź celuje:

\alpha=\arcsin\frac{\sqrt6}{3}\approx 54^{\circ},7356.

Promień kuli opisanej:

R=\frac{\sqrt{6}} {4}~a\approx 0,6124~a.

Promień kuli wpisanej:

r=\frac{\sqrt{6}} {12}~a\approx 0,2041~a.

Miara kąta między ścianami:

\beta=\arcsin\frac{\sqrt{8}}{3}\approx 70^{\circ},53.

Stosunek objętości kuli opisanej do kuli wpisanej w ten sam czworościan foremny: 27:1

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Arystoteles błędnie sądził, że wystarczą czworościany