Czworokąt Saccheriego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Czworokąt ABCD o dwóch kątach prostych przy podstawie AB, w którym boki AD i BC mają równe długości nazywamy czworokątem Saccheriego[1].

Czworokąty Saccheri. Hipotezy kąta (od góry): prostego, rozwartego i ostrego.

Z symetrii czworokąta względem prostopadłej EF do boku AB w jego środku E[2] wynika, że kąty przy wierzchołkach C i D są równe[3]. Kąty te nazywamy kątami przy górnej podstawie czworokąta Saccheriego. Jeśli prawdziwy jest pewnik Euklidesa, to kąty te są proste, a czworokąt ABCD jest prostokątem. Saccheri wykazał, że:

Jeśli w jakimkolwiek czworokącie Saccheriego kąty przy górnej podstawie są proste, to prawdziwy jest aksjomat Euklidesa.

Aby dowieść aksjomatu Euklidesa Saccheri formułuje trzy hipotezy:

  1. Kąty przy górnej podstawie czworokąta Saccheriego są rozwarte (hipoteza kąta rozwartego).
  2. Kąty przy górnej podstawie czworokąta Saccheriego są proste (hipoteza kąta prostego).
  3. Kąty przy górnej podstawie czworokąta Saccheriego są ostre (hipoteza kąta ostrego).

Pewnik Euklidesa jest równoważny hipotezie kąta prostego. Saccheri udowodnił, że hipoteza kąta rozwartego prowadzi do sprzeczności i starał się odkryć sprzeczność w hipotezie kąta ostrego. W tym celu wykazał, że z hipotezy tej wynika, że dla dwóch dowolnych prostych nieprzecinających się albo istnieje dokładnie jedna prostopadła do obu tych prostych, po obu stronach której proste te są rozbieżne (odległości między ich punktami nieograniczenie rosną), albo takiej prostopadłej nie ma i proste te w jednym kierunku są asymptotycznie zbieżne, a w drugim nieograniczenie rozbieżne[4].

Historia[edytuj | edytuj kod]

Czworokąty Saccheriego były rozpatrywane po raz pierwszy przez Omara Chajjama (1048-1131) w późnych latach XI wieku w I tomie Wyjaśnienie trudności w postulacie Euklidesa[5]. W odróżnieniu od wielu innych komentatorów Euklidesa (włączając w to kurs Saccheri), Chajjam nie usiłował udowodnić bezpośrednio aksjomatu Euklidesa, lecz zamierzał zastąpić go zasadą zaczerpniętą u Arystotelesa:

Dwie zbieżne proste przecinają się i niemożliwe jest, aby dwie proste zbieżne były rozbieżne w kierunku zbieżności[6]

Chajjam rozpatrzył hipotezy kąta prostego, rozwartego i ostrego kątów górnych czworokąta.

Po 600 latach Giordano Vitale dokonał postępu w książce Euclide restituo (1680, 1686), gdzie użył tego czworokąta do wykazania, że jeśli trzy punkty są równo odległe od podstawy dolnej AB i górnej CD, to AB i CD są wszędzie równo odległe.

Saccheri bazując na tym długim, heroicznym i ciągnącym się dowodzie postulatu równoległych, używając czworokąta, udowodnił wiele twierdzeń i własności.

Własności czworokąta Saccheriego[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja dowodu faktu, że górna podstawa czworokąta Saccheriego jest większa lub równa podstawie dolnej. Wykorzystywana jest tutaj nierówność trójkąta
  • Górna podstawa czworokąta Saccheriego ABCD jest nie mniejsza od podstawy dolnej[7].
Przy pomocy kolejnych symetrii osiowych można skonstruować ciąg czworokątów Saccheriego An Bn Bn + 1 An + 1, taki że A0 = A, B0 = B, A1 = D, B1 = C, i dla każdej liczby naturalnej n > 0 odcinek An + 1Bn + 1 jest symetryczny do odcinka An - 1Bn - 1 względem prostej AnBn. Wtedy wierzchołki należące do podstaw dolnych tych czworokątów są współliniowe i wszystkie mają długość BC, a wierzchołki podstaw górnych nie muszą być współliniowe, ale wszystkie podstawy górne mają długość AD. Ponieważ z nierówności trójkąta wynika, że długość odcinka BBn jest mniejsza od długości łamanej BAA1 ... AnBn, więc
dla każdego n \in \mathbb N zachodzi nierówność n BC \leqslant n AD + 2 AB.
Po podzieleniu obu stron tej nierówności przez n i przejściu do granicy przy n \to \infty
 BC \leqslant AD .
  • W czworokącie Saccheriego kąty przy górnej podstawie są proste lub ostre i są równe[8].
  • Linia środkowa czworokąta Saccheriego jest prostopadła do obu podstaw i łączy środki obu podstaw.
  • Jeżeli dwa czworokąty Saccheriego ABCD i A1B1C1D1 mają równe podstawy AB = A1B1 i równe boki BC = B1C1, to mają one również równe górne podstawy CD = C1D1.
  • Jeżeli dwa czworokąty Saccheriego ABCD i A1B1C1D1 mają równe podstawy górne CD = C1D1 oraz kąty przy górnych podstawach, to czworokąty te są przystające[9].
  • Proste zawierające podstawy czworokąta Saccheriego są rozbieżne. Wynika to z faktu, że linia środkowa czworokąta Saccheriego jest do obu podstaw prostopadła.


Przypisy

  1. Н. В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978, s. 19.
  2. Linię tę nazywa się często linią środkową czworokąta Saccheriego. Można wykazać, że punkt F jest środkiem boku CD.
  3. K. Borsuk, W. Szmielew: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970, s. 121, 122.
  4. Н. В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978, s. 20.
  5. Boris Abramovich Rozenfelʹd: A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer, 1988, s. 65. ISBN 0-387-96458-4.
  6. Boris A Rosenfeld and Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p.467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
  7. Ж. Лелон-Ферран: Основания Геометрии. Москва: Мир, 1989, s. 257. (ros.)
  8. Ж. Лелон-Ферран, op. cit., s. 257-258
  9. Н. В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Нayка, 1978, s. 152. (ros.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Н. В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978. (ros.)
  • K. Borsuk, W. Szmielew: Podstawy geometrii. Warszawa: PWN, 1970.
  • Ж. Лелон-Ферран: Основания Геометрии. Москва: Мир, 1989. (ros.)
  • B. A. Rozenfeld: Historia geometrii nieeuklidesowej. Moskwa: Nauka, 1976. (ros.)