Czynnik całkujący

Czynnik całkujący

Rozważmy równanie różniczkowe (1) postaci:

$\ P(x,y)+Q(x,y)y'=0$

Gdzie P i Q są funkcjami klasy $C^1$ w badanym obszarze oraz spełniony jest warunek:

$\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$

Co oznacza, ze równanie (1) nie jest równaniem różniczkowym zupełnym. W danym obszarze może jednak istnieć funkcja U(x,y)≠0 taka, że równanie (1), którego lewa strona została pomnożona przez :$U(x,y)$:

$\ P(x,y)U(x,y)+Q(x,y)U(x,y)y'=0$

już może być zakwalifikowane jako równanie zupełne, tzn. (2)

$\frac{\partial (UP)}{\partial y} = \frac{\partial (UQ)}{\partial x}$

Funkcja U(x,y) dobrana w taki sposób nazywana jest czynnikiem całkującym równania (1). Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania (2) pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją U(x,y), które w ogólności jest trudne do rozwiązania. Istnieją jednak przypadki, w których zadanie to jest nieskomplikowane:

- Jeżeli funkcje P i Q mają pochodne cząstkowe w pewnym obszarze jednospójnym D, oraz Q(x,y)≠0, oraz wyrażenie

$\frac{1}{Q(x,y)}( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} )$

zależy tylko od zmiennej x, to istnieje czynnik całkujący U(x) zależny wyłącznie od x, określony równaniem:

$U(x)=exp( {\int \frac{1}{Q} ( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} ) \;dx} )$

Analogiczny przypadek można rozważyć dla funkcji P oraz zmiennej y. Tutaj również zakładamy istnienie pochodnych cząstkowych dla P i Q w pewnym obszarze jednospójnym D, a także P(x,y)≠0. Wtedy, o ile wyrażenie

$\frac{1}{P(x,y)}( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} )$

jest funkcją zależną tylko od y, można znaleźć czynnik całkujący U(y) niezależny od x, określony równością:

$U(y)=exp( {\int \frac{1}{P} ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} ) \;dy} )$