Czynnik całkujący

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Czynnik całkujący (metoda czynnika całkującego) - w równaniach różniczkowych metoda pozwalająca znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zupełnych.

Niech dane będzie równanie różniczkowe

 P(x,y)+Q(x,y)y'=0
(1)

lub, w alternatywnej postaci,

 P(x,y)dx +Q(x,y)dy =0
(1')

gdzie funkcje P i Q są klasy C^1 na pewnym obszarze jednospójnym D i w żadnym punkcie tego obszaru nie zerują się jednocześnie. Ponadto załóżmy, że zachodzi

 \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}

(warunek ten oznacza, że równanie (1) nie jest równaniem zupełnym).

Metoda czynnika całkującego polega na znalezieniu różnej od zera funkcji \mu(x,y) takiej, że po przemnożeniu przez nią równania (1'), stanie się ono równaniem zupełnym:

 \mu(x,y)P(x,y)dx +\mu(x,y)Q(x,y)dy =0,
(2)

dla którego będzie zachodziło

 \frac{\partial (P\mu)}{\partial y} = \frac{\partial (Q\mu)}{\partial x}.
(3)

Z powyższych wzorów wynika, że szukana funkcja musi posiadać pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Tak sprowadzone równanie, będące równaniem zupełnym daje się już scałkować, istnieje więc funkcja U(x,y), dla której U(x,y)=C jest całką (rozwiązaniem) równania (2), a zarazem i (1). Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania (3) pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją U(x,y), które w ogólności jest trudne do rozwiązania.

Niektóre przypadki postaci czynnika całkującego[edytuj | edytuj kod]

Czynnik całkujący zależny tylko od x[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący zależny tylko od zmiennej x, \mu(x). Oznacza, to że musi on spełniać równanie

 \frac{\partial P}{\partial y}\mu = \frac{\partial Q}{\partial x}\mu+\frac{d \mu}{d x}Q,
(4)

jako że \frac{\partial \mu}{\partial y}=0. Zakładając, że Q\neq 0, otrzymujemy

\frac{\mu'_x}{\mu}=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} .
(4')

Aby istniał czynnik całkujący \mu(x) konieczne jest, by prawa strona równania (4') była zależna tylko od zmiennej x:

\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\psi(x) .
(5)

Wtedy, rozwiązując równanie o zmiennych rozdzielonych (4') otrzymujemy, że

\mu(x)=C\exp\left(\int\psi(x) dx\right),
(6)

gdzie C jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a \exp to oznaczenie funkcji eksponencjalnej. Każda z tak otrzymanych funkcji \mu(x) jest czynnikiem całkującym, zwyczajowo więc przyjmuje się, że C=1.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będzie równanie liniowe

y'(x)+p(x)=q(x).
(7)

Warunek (5) jest spełniony, ponieważ w naszym przypadku P(x,y)=p(x)y(x)-q(x) i Q(x,y)=1 oraz

\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=p(x),

tak więc czynnikiem całkującym równania (7) jest

\mu(x)=\exp\left(\int p(x) dx\right).

Czynnik całkujący zależny tylko od y[edytuj | edytuj kod]

Postępując analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, czynnik całkujący równania (1) zależny od y istnieć będzie tylko wtedy, gdy P\neq 0 oraz prawa strona równania

\frac{\mu'_y}{\mu}=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{-P}
(8)

będzie zależna tylko od y. Wtedy czynnik całkujący będzie postaci

\mu(x)=C\exp\left(\int\psi(y) dy\right),
(9)

gdzie ponownie C jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a \psi(y) to prawa strona równania (8).

Czynnik całkujący zależny od x+y[edytuj | edytuj kod]

Ponownie, załóżmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci \mu=\mu(S(x,y)), gdzie S(x,y)=x+y. Zauważmy, że funkcja \mu jest formalnie funkcją zmiennej S. Warunek (3) przyjmuje postać

\frac{\partial P}{\partial y}\mu + P\frac{d \mu}{d S}\frac{\partial S}{\partial y}=
\frac{\partial Q}{\partial x}\mu + Q\frac{d \mu}{d S}\frac{\partial S}{\partial x}
\mu'_S\left(P\frac{\partial S}{\partial y}-Q\frac{\partial S}{\partial x}\right)=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right).

Ponieważ \frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial S}{\partial y}=1 , zakładając, że P-Q\neq 0 warunkiem na to, by funkcja \mu była czynnikiem całkującym (1) jest, aby prawa strona równania

\frac{\mu'_S}{\mu}=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q-P}
(10)

zależała tylko od S, czyli od x+y. Czynnik całkujący ma wtedy postać

\mu=\exp\left(\int\psi(S) dS \right),

gdzie \psi(S), jak poprzednio jest prawą stroną (11).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy równanie

(3x+4y)dx-(2x+y)dy=0
(11)

W naszym przypadku P(x,y)=3x+4y, Q(x,y)=-2x-y oraz

\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q-P}=\frac{6}{-5x-5y}=\frac{-6}{5(x+y)}

Prawa strona równania jest zależna tylko od S(x,y)=x+y, więc czynnik całkujący będzie postaci

\mu=\exp\left(\int\frac{-6}{5S}dS\right)=\exp\left(-\frac{6}{5}\ln S\right)=S^{-\frac{6}{5}}=(x+y)^{-\frac{6}{5}}.

Przypadek ogólny[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy w końcu że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci \mu=\mu(S(x,y)), gdzie S(x,y) jest dowolną funkcją, posiadającą pochodne cząstkowe i dla której zachodzi Q S'_x-P S'_y\neq 0. Warunek (3) przyjmuje ponownie postać

\frac{\partial P}{\partial y}\mu + P\frac{d \mu}{d S}\frac{\partial S}{\partial y}=
\frac{\partial Q}{\partial x}\mu + Q\frac{d \mu}{d S}\frac{\partial S}{\partial x},

a warunkiem, by \mu była czynnikiem całkującym (1) jest, by prawa strona równania


\frac{\mu'_S}{\mu}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{Q\frac{\partial S}{\partial x}-P\frac{\partial S}{\partial y}}
(12)

była zależna jedynie od S.

Istnienie i jednoznaczność czynnika całkującego[edytuj | edytuj kod]

Zakładając istnienie całki ogólnej równania (1), przy poprzednich założeniach można wykazać[1][2], że każde równanie postaci (1') ma czynnik całkujący.

Z postaci czynnika całkującego

\mu=C\exp\left(\int\psi(S) dS \right),
(13)

wynika, że dla dowolnej, niezerowej liczby rzeczywistej C, \mu jest czynnikiem całkującym. Oprócz tego, jeśli \mu jest czynnikiem całkującym równania (1), to

\mu_1=\mu\varphi(U),

gdzie U(x,y) jest całką ogólną równania (1) a \varphi jest dowolną, niezerową funkcją mającą ciągłą pochodną, także jest czynnikiem całkującym (1). W istocie, pomiędzy każdymi dwoma czynnikami całkującymi równania (1) zachodzi zależność (13)[1].

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Matwiejew ↓, s. 101-105.
  2. ProofWiki ↓.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Nikolaj M. Matwiejew: Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Warszawa: PWN, 1970.,
  • Herbert Goering: Elementarne metody rozwiązywania równań różniczkowych. Warszawa: PWN, 1971.