Długość Debye'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Długość Debye’a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

W plazmie oraz elektrolicie, długość Debye’a (zwana też czasami promieniem Debye'a) jest typową odległością, jaką potrzebuje plazma do pełnego ekranowania naładowanej elektrycznie powierzchni. Sfera Debye'a to obszar o promieniu równym długości Debye'a, wewnątrz którego rozciąga się strefa wpływu, a na zewnątrz którego strefa ekranowania elektrycznego. Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Debye, holenderskiego chemika.

Pojęcie długości Debye'a odgrywa ważną rolę w fizyce plazmy, elektrolitów i koloidów (teoria DLVO).

Przyczyny fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Długość Debye'a pojawia się naturalnie w termodynamicznym opisie dużych systemów poruszających się ładunków. W układzie N różnych rodzajów ładunków, j-ty rodzaj przenoszący ładunek q_j posiada w położeniu \mathbf{r} koncentrację n_j(\mathbf{r}). Nawiązując do tak zwanego "modelu prymitywnego", ładunki te rozprowadzane są w ciągłym ośrodku charakteryzowanym tylko przez ich względną przenikalność elektryczną \varepsilon_r. Rozkład ładunków w ośrodku daje potencjał elektryczny \Phi(\mathbf{r}), spełniający równanie różniczkowe Poissona:

 \nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}),

gdzie \varepsilon_0 jest stałą elektryczną.

Wolne ładunki nie tylko powodują powstawanie potencjału \Phi(\mathbf{r}), ale również poruszają się pod wpływem siły Coulomba - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}). Jeżeli teraz założymy, że system znajduje się w równowadze termodynamicznej, z bezwzględną temperaturą rezerwuaru termicznego równą T, wówczas koncentracja dyskretnych ładunków, n_j(\mathbf{r}), może być rozważana jako uśrednienie termodynamiczna, a powiązany potencjał elektryczny można rozważać jako pole termodynamiczne. Z powyższymi założeniami, koncentracja j-tego rodzaju ładunków opisana jest rozkładem Boltzmanna

 n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right),

gdzie k_B jest stałą Boltzmanna a n_j^0 jest średnią koncentracją ładunków rodzaju j-tego.

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Typowe wartości[edytuj | edytuj kod]

W plazmie kosmicznej, gdzie gęstość elektronów jest bardzo mała, długość Debye'a może osiągać makroskopowe rozmiary, jak np w magnetosferze, wietrze słonecznym, ośrodku międzyplanetarnym oraz międzygalaktycznym (patrz tabela):

Plazma Gęstość
ne(m-3)
Temperatura elektronów
T(K)
Pole magnetyczne
B(T)
Długość Debye'a
λD(m)
Jądro Słońca 1032 107 -- 10−11
Tokamak 1020 108 10 10−4
Wyładowanie gazowe 1016 104 -- 10−4
Jonosfera 1012 103 10−5 10−3
Magnetosfera 107 107 10−8 102
Wiatr słoneczny 106 105 10−9 10
Ośrodek międzygwiezdny 105 104 10−10 10
Ośrodek międzygalaktyczny 1 106 -- 105

[1]

Hannes Alfvén podkreślił, że "w rozrzedzonej plazmie, zlokalizowane obszary ładunku mogą powodować ogromne spadki napięcia na odległości rzędu dziesiątek długości Debye'a. Regiony takie nazywane są elektrycznymi warstwami podwójnymi. Elektryczne warstwa podwójna jest najprostszym mechanizmem dystrybucji ładunków w kosmosie. Zachodzi w niej spadek potencjału i wygaszenie pola elektrycznego po każdej ze stron. W laboratorium, warstwy podwójne studiowane są od pół wieku, ale ich rola w przestrzeni kosmicznej nie została rozpoznana."[potrzebne źródło].

Długość Debye'a w plazmie[edytuj | edytuj kod]

W plazmie, ośrodek otaczający może być potraktowany jako próżnia (\varepsilon_r = 1), a wtedy długość Debye'a wyniesie

 \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B/q_e^2}{n_e/T_e+\sum_{ij} j^2n_{ij}/T_i}}

gdzie

λD jest długością Debye'a,
ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni,
kB jest stałą Boltzmanna,
qe jest ładunkiem elektronu,
Te oraz Ti są temperaturami odpowiednio elektronów i jonów,
ne jest gęstością elektronów,
nij jest gęstością rodzajów atomów i, z dodatnim jonowym ładunkiem jqe

Wyrażenie jonowe jest często pomijane, co daje uproszczenie do

 \lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e q_e^2}}

aczkolwiek, jest to tylko dopuszczalne, gdy ruchliwość jonów jest zaniedbywalna w stosunku do skali procesu.[2]

Długość Debye'a w elektrolicie[edytuj | edytuj kod]

W elektrolicie lub w roztworze koloidalnym, długość Debye'a[3] jest z reguły oznaczana jako κ−1

 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 k_B T}{2 N_A e^2 I}}

gdzie

I - siła jonowa elektrolitu, mierzona w jednostkach mol/m3,
ε0 - Przenikalność elektryczna próżni,
εr - względna przenikalność elektryczna,
kB - stała Boltzmanna,
T - temperatura absolutna w kelwinach,
NA - stała Avogadra.
e - ładunek elementarny,

lub, dla symetrycznego, monowalencyjnego elektrolitu

 \kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 R T}{2 F^2 C_0}}

gdzie

R - stała gazowa,
F - stała Faradaya,
C0 - koncentracja molowa elektrolitu.

Alternatywnie,

 \kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_B N_A I}}

gdzie

\lambda_B - długość Bjerruma ośrodka.

Dla wody w temperaturze pokojowej, λB ≈ 0.7 nm.

Rozważając mieszankę wody z elektrolitem 1:1 w temperaturze pokojowej, mamy

 \kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}

gdzie

κ−1 - długość w nanometrach (nm)
I - siła jonowa wyrażona w stężeniu molowym (M lub mol/L)

Długość Debye'a w półprzewodnikach[edytuj | edytuj kod]

Długość Debye'a staje się coraz bardziej znacząca w modelowaniu urządzeń z materiałów stałych, jak usprawnienia w litografii, gdzie możliwe stają się mniejsze geometrie[4][5][6].

Długość Debye'a dla półprzewodników jest dana

 \mathit{L}_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm{Si}} k_B T}{q^2N_d}}

gdzie

εSi - stała dielektryczna,
kB - stała Boltzmanna,
T - temperatura w kelwinach,
q - ładunek elementarny, oraz
Nd - gęstość domieszek (zarówno donatorów jak akceptorów).

Kiedy profil domieszek przekracza długość Debye'a, zachowanie większości nośników nie odpowiada już rozkładowi domieszek. Zamiast tego, pomiar profilu gradientu domieszek daje profil "efektywny", który lepiej odpowiada profilowi gęstości nośników.

W kontekście półprzewodników, długość Debye'a jest również nazywana długością ekranowania Thomasa-Fermiego.

Przypisy

  1. Chapter 19: The Particle Kinetics of Plasma. [dostęp 30-10-2013].
  2. I. H. Hutchchinson: Principles of plasma diagnostics. ISBN ISBN 0-521-38583-0.
  3. Russel, W.B., Saville, D.A. and Schowalter, W.R. Colloidal Dispersions, Cambridge University Press, 1989
  4. Eric Stern, Robin Wagner, Fred J. Sigworth, Ronald Breaker, Tarek M. Fahmy, Mark A. Reed. Importance of the Debye Screening Length on Nanowire Field Effect Transistor Sensors. „Nano Letters”. 11. 7, 2007-11-01. doi:10.1021/nl071792z. Bibcode2007NanoL...7.3405S. 
  5. Lingjie Guo. A room-temperature silicon single-electron metal–oxide–semiconductor memory with nanoscale floating-gate and ultranarrow channel. „Applied Physics Letters”. 7. 70, s. 850, 1997. doi:10.1063/1.118236. ISSN 0003-6951. Bibcode1997ApPhL..70..850G. [dostęp 2010-10-25]. 
  6. Sandip Tiwari, Farhan Rana, Kevin Chan, Leathen Shi, Hussein Hanafi. Single charge and confinement effects in nano-crystal memories. „Applied Physics Letters”. 9. 69, s. 1232, 1996. doi:10.1063/1.117421. ISSN 0003-6951. Bibcode1996ApPhL..69.1232T. [dostęp 2010-10-25]. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Goldston & Rutherford: Introduction to Plasma Physics. Institute of Physics Publishing, Philadelphia, 1997.
  • Lyklema: Fundamentals of Interface and Colloid Science. Academic Press, NY, 1993.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]