Delta Diraca

Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x₀ = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Delta Diraca – dystrybucja, czyli funkcjonał liniowy i ciągły na przestrzeni $\mathcal{D}$ funkcji próbnych, tzn. wszystkich funkcji klasy $C^\infty(\mathbb{R}^N)$ o zwartych nośnikach, dany wzorem

$\delta(\varphi)= \varphi(0)$

dla każdej funkcji $\varphi\in \mathcal{D}$. Delta Diraca nie jest dystrybucją regularną.

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyk Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a $F(s)=1$ i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

Reprezentacje

Funkcja impulsowa

Delta Diraca jako granica funkcji Gaussa: $\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$ gdzie $a\to 0.$

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) δ to, mówiąc intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach:

$\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

którego "powierzchnia pod krzywą" jest znormalizowana, czyli wartość całki wynosi:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\delta (x)dx} = 1.$

Mimo sugestywnej i użytecznej notacji $\delta(x)$ należy podkreślić, że nie jest to funkcja o wartościach rzeczywistych. Matematycznie określamy deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej.

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji $\mathbb R^2 \ni (t,h)\mapsto f(t,h)\in \mathbb R$:

$\delta (t)=\lim_{h\to 0}f(t,h)$

gdzie $f(t,h)$ może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

• $f(t,h)=\begin{cases} \frac{1}{h} & \mbox{dla }-h/2<t<h/2 \\ 0 & \mbox{dla } t\le -h/2 \mbox{ lub } t\ge h/2 \end{cases}$
• $f(t,h)= \frac{1}{h\sqrt \pi}e^{ -t^2/h^2}$,
• $f(t,h)= \frac{h/\pi}{t^2+h^2}$.

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej

Deltę Diraca można też uważać za funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej zwanej zmienną "pewną" (tzn. takiej, której realizacja jest zawsze taka sama). Inaczej mówiąc każdy rozkład gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$ zmiennej losowej przechodzi w granicy do rozkładu typu delty Diraca kiedy jego wariancja $\sigma^2$ zmierza do zera:

$\delta (x-\mu) = \lim_{\sigma^2\to 0} f(x)$

gdzie $\mu$ jest wartością oczekiwaną (wartością średnią) i zarazem jedyną możliwą realizacją zmiennej losowej $X$. W takim przypadku funkcję skokową Heaviside'a można uważać za dystrybuantę delty Diraca.

Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze to:

• $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x - a ) \, dx = f(a)$,
• $\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) \, \delta(x-b) \, dx = \delta(a-b)$,
• $\delta(-x) = \delta(x) \,$,
• $\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$,
• $\delta(x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2|a|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x+a) \right]$.

Zobacz też

• delta Kroneckera