Diagram Schlegela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagramy Schlegela wielościanów: Tetrahedron - czworościan foremny, Octahedron - Ośmiościan foremny, Hexahedron - Sześcian, Square pyramid - Ostrosłup prawidłowy czworokątny, Icosahedron - Dwudziestościan foremny, Dodekahedron - Dwunastościan foremny

Diagram Schlegela wielościanu wypukłego - obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę \pi\;, gdzie[1][2]:

  1. Płaszczyzna \pi\; jest równoległa do jednej ze ścian \mathfrak{s} wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny \pi_{\mathfrak{s}} zawierającej ścianę \mathfrak{s}
  2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany \mathfrak{s}, że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie \mathfrak{s}.

W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza \mathfrak{s} wypełniają rzut ściany \mathfrak{s}, a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych \mathfrak{w}_1, \cdots, \mathfrak{w}_n odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu \mathfrak{s}_1, \cdots, \mathfrak{s}_n o następujących własnościach:

  1. Dla każdego k \in \{1, \cdots n\} wielokąt \mathfrak{w}_k ma tyle samo boków, co ściana \mathfrak{s}_k.
  2. Suma mnogościowa wielokątów \mathfrak{w}_2, \cdots, \mathfrak{w}_n jest równa wielokątowi \mathfrak{w}_1.
  3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego[edytuj | edytuj kod]

W deformacji (homeomorfizmie) \mathfrak{d} przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze[3]. Ściany \mathfrak{s}_1, \cdots, \mathfrak{s}_n są w deformacji przekształcane na obszary \mathfrak{o}_1, \cdots, \mathfrak{o}_n, które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru \mathfrak{o}_1. Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych \mathfrak{o}_2, \cdots, \mathfrak{o}_n to wielokąty krzywoliniowe \mathfrak{v}_1, \cdots, \mathfrak{v}_n, których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru \mathfrak{o}_1. Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

Przypisy

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 169.
  2. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956, s. 137-138.
  3. Łukiem tym jest obraz homeomorficzny odcinka jednostkowego na sferze.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons
  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956.
  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Loeb A. L.: Space Structures. Addison-Wesley, 1976.