Diagram Schlegela

Diagramy Schlegela wielościanów: Tetrahedron - czworościan foremny, Octahedron - Ośmiościan foremny, Hexahedron - Sześcian, Square pyramid - Ostrosłup prawidłowy czworokątny, Icosahedron - Dwudziestościan foremny, Dodekahedron - Dwunastościan foremny

Diagram Schlegela wielościanu wypukłego - obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę $\pi\;$, gdzie:

1. Płaszczyzna $\pi\;$ jest równoległa do jednej ze ścian $\mathfrak{s}$ wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny $\pi_{\mathfrak{s}}$ zawierającej ścianę $\mathfrak{s}$
2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany $\mathfrak{s}$, że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie $\mathfrak{s}$.

W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza $\mathfrak{s}$ wypełniają rzut ściany $\mathfrak{s}$, a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych $\mathfrak{w}_1, \cdots, \mathfrak{w}_n$ odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu $\mathfrak{s}_1, \cdots, \mathfrak{s}_n$ o następujących własnościach:

1. Dla każdego $k \in \{1, \cdots n\}$ wielokąt $\mathfrak{w}_k$ ma tyle samo boków, co ściana $\mathfrak{s}_k$.
2. Suma mnogościowa wielokątów $\mathfrak{w}_2, \cdots, \mathfrak{w}_n$ jest równa wielokątowi $\mathfrak{w}_1$.
3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego

W deformacji (homeomorfizmie) $\mathfrak{d}$ przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze. Ściany $\mathfrak{s}_1, \cdots, \mathfrak{s}_n$ są w deformacji przekształcane na obszary $\mathfrak{o}_1, \cdots, \mathfrak{o}_n$, które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru $\mathfrak{o}_1$. Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych $\mathfrak{o}_2, \cdots, \mathfrak{o}_n$ to wielokąty krzywoliniowe $\mathfrak{v}_1, \cdots, \mathfrak{v}_n$, których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru $\mathfrak{o}_1$. Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

Bibliografia

• Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956.
• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Loeb A. L.: Space Structures. Addison-Wesley, 1976.