Diament Jensena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Diament Jensena – zdanie w teorii mnogości, oznaczane przez \diamondsuit, postulujące istnienie ciągu zbiorów przeliczalnych, który często zgaduje każdy podzbiór pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej \omega_1. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów, ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest ono traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli wymaga tego dowód.

Zasada kombinatoryczna \diamondsuit została wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Ronalda Jensena. Jedną z motywacji do rozważania tego zdania jest jego prawdziwość w uniwersum konstruowalnym \mathbf L oraz fakt, iż wiele studiowanych wcześniej własności \mathbf L okazało się być konsekwencjami \diamondsuit.

Jensen udowodnił też, że jeśli \mathbf{ZFC} jest niesprzeczne, to niesprzeczna jest również teoria \mathbf{ZFC} + \mathbf{GCH} + \neg\diamondsuit[1].

Diament i wzmocnienie[edytuj | edytuj kod]

Diament Jensena \diamondsuit to następujące zdanie:

Istnieje taki ciąg \langle A_\alpha\colon \alpha<\omega_1\rangle, że
A_\alpha\subseteq \alpha dla każdej liczby porządkowej \alpha<\omega_1 oraz
dla każdego zbioru A\subseteq \omega_1, zbiór \{\alpha<\omega_1\colon A_\alpha=A\cap \alpha\} jest stacjonarny.

\diamondsuit^+ to zdanie:

Istnieje taki ciąg \langle {\mathcal A}_\alpha\colon \alpha<\omega_1\rangle, że
dla każdej liczby porządkowej \alpha<\omega_1, {\mathcal A}_\alpha jest przeliczalną rodziną podzbiorów \alpha oraz
dla każdego zbioru A\subseteq \omega_1 istnieje club C\subseteq \omega_1 taki, że
(\forall\alpha\in C)(A\cap\alpha\in {\mathcal A}_\alpha\ \wedge\ C\cap\alpha\in {\mathcal A}_\alpha).

\diamondsuit^- to zdanie:

Istnieje taki ciąg \langle {\mathcal A}_\alpha\colon \alpha<\omega_1\rangle, że
dla każdej liczby porządkowej \alpha<\omega_1, {\mathcal A}_\alpha jest przeliczalną rodziną podzbiorów \alpha oraz
dla każdego zbioru A\subseteq \omega_1, zbiór \{\alpha<\omega_1\colon A\cap \alpha\in \mathcal{A}_\alpha\} jest stacjonarny.

Konsekwencje i własności[edytuj | edytuj kod]

Następujące twierdzenia są dowodliwe w \mathbf{ZFC}:

  • \diamondsuit\ \Rightarrow\  \mathbf{CH}.
  • Jeśli \diamondsuit jest prawdziwy, to istnieje ω1-drzewo Suslina. Zatem, przy założeniu \diamondsuit,
    (a) istnieje porządek liniowy bez końców, w którym każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna, ale który nie zawiera żadnego przeliczalnego podzbioru gęstego;
    (b) istnieje przestrzeń topologiczna X która jest przestrzenią Suslina (tzn. każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów X jest co najwyżej przeliczalna), ale której produkt X\times X nie jest przestrzenia Suslina (zdanie to jest mimo to dowodliwe pod założeniem samej hipotezy continuum[2]).
  • \diamondsuit^+\ \Rightarrow \diamondsuit.
  • {\mathbf{V}}={\mathbf{L}}\ \Rightarrow \diamondsuit^+.
  • Jeśli \diamondsuit^+ jest prawdziwy, to istnieje \omega_1-drzewo Kurepy (z 2^{\omega_1} gałęziami długości \omega_1).
  • Zdania \diamondsuit i \diamondsuit^- są równoważne.

Przypisy

  1. Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.
  2. Galvin, Frederick: Chain conditions and products. ”Fundamenta Mathematicae” 1980, nr 108, s. 33-48.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kunen, Kenneth: Set theory. An introduction to independence proofs. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85401-0, ss. 80-86.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]