Dobry porządek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dobry porządek na danym zbiorze X to porządek liniowy na X taki, że każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy (ze względu na ten porządek).

Przykładem porządku liniowego, który nie jest dobrym porządkiem, jest standardowo uporządkowany zbiór liczb całkowitych (podobnie liczb rzeczywistych), gdyż w zbiorze tym nie ma najmniejszego elementu.

Pojęcie dobrego porządku ma ścisły związek z pojęciem indukcji matematycznej. Pojęcie indukcji można mianowicie stosować we wszystkich zbiorach dobrze uporządkowanych.

Twierdzenie Zermelo, mówiące o tym, że każdy zbiór można dobrze uporządkować jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby 1, ..., 100 ze standardowym porządkiem.
  • Zbiór liczb naturalnych \mathbb N ze standardowym porządkiem.
  • X=\mathbb N\cup\{a\}, gdzie liczby naturalne porównujemy normalnie, natomiast a jest elementem większym od dowolnej liczby naturalnej.
  • Zbiór liczb naturalnych \mathbb N z następującym (niestandardowym) porządkiem:
0 < 2 < 4 < \dots  < 1 < 3 < 5 < \dots .