Dodawanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus: +.

Dodawanie liczb[edytuj | edytuj kod]

Dodawanie pisemne liczb naturalnych[edytuj | edytuj kod]

W niektórych przypadkach dodawanie w pamięci jest trudne. Można tę operację uprościć wykorzystując metodę dodawania pisemnego, która pozwala obliczyć sumę wykonując w pamięci wyłącznie dodawanie liczb jednocyfrowych.

Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: 653\; i 274.\; Drugą liczbę zapisujemy pod pierwszą, tak by cyfry zostały zapisane w kolumnach. Zapisując liczby należy je wyrównać do prawej, czyli zapisać jedności nad jednościami, dziesiątki nad dziesiątkami itd. Pod drugą liczbą narysuje się linię:


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}
  \end{matrix}

Dodawanie rozpoczynamy od prawej kolumny zawierającej cyfry jedności obu liczb. Cyfrą jedności 653\; jest 3;\; cyfrą jedności 274\; jest 4;\;
Dodajemy te dwie liczby jednocyfrowe, a ostatnią w wyniku zapisujemy pod kreską. 3+4=7,\; więc na pozycji jedności pod kreską piszemy 7:\;


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}
    \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 7\end{matrix}
  \end{matrix}

Przechodzimy z dodawaniem do następnej kolumny, gdzie dodajemy do siebie liczby jednocyfrowe odpowiadające cyfrom dziesiątek. Cyfrą dziesiątek 653\; jest 5;\; cyfrą dziesiątek 274\; jest 7;\;
5+7=12;\; piszemy 2\; pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a 1\; przenosimy do kolumny setek:


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & 1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}
    \\ \;\begin{matrix} \ & \ & 2 & 7\end{matrix}
  \end{matrix}

Pozostała kolumna setek: dodajemy 1+6+2\; z trzeciej kolumny otrzymując 9,\; piszemy 9\; w kolumnie setek pod kreską:


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & \ 1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}
    \\ \;\;\begin{matrix} \ & 9 & 2 & 7\end{matrix}
  \end{matrix}

otrzymując wynik 653 + 274 = 927.\;

Dodając pisemnie wiele liczb ("podliczanie słupków") wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki, itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to, w przypadku pomyłki, powtarzać tylko część obliczeń:


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ 
	\ & \ & 1 & 2 & 3 \\ 
	+ & \ & 1 & 9 & 5 \\
	+ & \ & \  & 1 & 8 \\
	+ & \ & 3 & 4 & 7 \\
	+ & \ & 1 & 1 & 6 \\
	+ & \ & \ & 2 & 1 \\
	+ & \ & 8 & 2 & 3
    \end{matrix}\\
    \underline\begin{matrix} 
	\ & \ & \ & 3 & 3 \\ 
	+ & \ & 2 & 1 & \ \\ 
	+ & 1 & 4 & \ & \ 
    \end{matrix}
    \\ \;\begin{matrix} \ & 1 & 6 & 4 & 3\end{matrix}
  \end{matrix}

Uwaga: Liczby można dodawać pisemnie tylko w systemach pozycyjnych.

Dodawanie liczb całkowitych[edytuj | edytuj kod]

Możliwe są trzy przypadki, w zależności od znaku dodawanych liczb:

  • Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne powyżej.
  • Jeśli obydwie są ujemne (-a\; i -b),\; to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak: (-a)+(-b)=-(a+b)\;.
  • Jeśli jedna liczba jest dodatnia (a)\; a druga ujemna (-b)\; to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych: a+(-b)=a-b\;. Aby obliczyć a-b\;, gdy a<b\;, oblicza się b-a\; i bierze otrzymany wynik ze znakiem "minus", czyli: a-b=-(b-a)\;.
  • Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.

Dodawanie ułamków[edytuj | edytuj kod]

Dla liczb wymiernych \frac{a}{b} i \frac{c}{d} dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Następnie można zastosować wzór:

\frac{k}{m}+\frac{l}{m}=\frac{k+l}{m}

Najmniejszym wspólnym mianownikiem jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dodawanych ułamków.

Przykład:

\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie ułamków sprowadza się wtedy do wzoru:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{ad+cb}{bd}

Przykład:

\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}+\frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{3\cdot 6+1\cdot 4}{4\cdot 6}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}

W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:


  \begin{matrix}
    \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\ 
	\ & 1 & 2, & 5 & \ \\ 
	+ & \ & 5, & 8 & 1
    \end{matrix}
    \\ \;\;\begin{matrix} \ & 1 & 8, & 3 & 1\end{matrix}
  \end{matrix}

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych lub przez aksjomatykę Peano (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb). W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych, a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:

  • a+1=a^\prime
  • a+b^\prime=(a+b)^\prime

gdzie a^\prime jest następnikiem liczby a\;.

Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb:

(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\;;
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\; (w ogólności wzór ten jest definicją dodawania w dowolnym ciele ułamków);
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\;;
(a+bi+cj+dk)+(p+qi+rj+sk)=(a+p)+(b+q)i+(c+r)j+(d+s)k\;.

Własności sumy wynikające z własności składników[edytuj | edytuj kod]

Składnik Składnik Suma
parzysty parzysty parzysta
nieparzysty nieparzysty parzysta
parzysty nieparzysty nieparzysta
naturalny naturalny naturalna
całkowity całkowity całkowita
całkowity niecałkowity niecałkowita
wymierny wymierny wymierna
wymierny niewymierny niewymierna
dodatni dodatni dodatnia
ujemny ujemny ujemna
algebraiczny algebraiczny algebraiczna
algebraiczny przestępny przestępna
rzeczywisty rzeczywisty rzeczywista
zespolony zespolony zespolona

Zapis oraz liczba składników[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Sumowanie.

Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem +\;, na przykład: 2 + 2 = 4\;.

Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby:

  • sumą zawierającą jeden składnik x\; jest x\;;
  • sumą zawierającą zero składników jest liczba zero, ponieważ liczba zero jest elementem neutralnym dodawania.

Sumę a+b+c\; można rozumieć jako (a+b)+c\; lub a+(b+c)\;. Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.

Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki: 1 + 2 + \dots + n.

Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. 1+ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \dots jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej. Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.

Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:

\sum\limits_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n

czytany "suma składników postaci a_i\; rozciągnięta na wszystkie wskaźniki i\; od 1\; do n\;".

Analogicznie można zapisywać szeregi:

\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1.

Suma nie musi rozpoczynać się od 1, może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od -\infty\; przy zapisywaniu szeregów "od końca").

Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

  • \sum\limits_{0\le x< n} f(x)\; jest sumą składników postaci f(x)\; dla każdego całkowitego x\; w pewnym przedziale
  • \sum\limits_{x\in S} f(x)\; jest sumą składników postaci f(x)\; dla każdego x\in S\; (niekoniecznie całkowitego)
  • \sum\limits_{d|n}\;\mu(d)\; jest sumą wszystkich \mu(d)\; dla każdego całkowitego d\; dzielącego n\;
  • \sum\limits_{R(x)} f(x)\; gdzie R(x)\; jest dowolną relacją zależną od x\;.

Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.

Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi: \prod\;

Przybliżanie całkami oznaczonymi[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej rosnącej funkcji f\; zachodzi następująca zależność między całkami a sumami:

 \int\limits_{a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int\limits_{a}^{b+1} f(s)\, ds.

Wzory sumacyjne[edytuj | edytuj kod]

Wikisource-logo.svg
Zobacz w Wikiźródłach tekst
Sumy
gdzie B_k jest k-tą liczbą Bernoulliego.

Suma funkcji[edytuj | edytuj kod]

Sumę funkcji f,g\colon X\to Y, gdzie Y\; jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, przestrzenią liniową) definiuje się jako

(f+g)(x)=f(x)+g(x)\; dla wszystkich x\in X\;.

Przykłady użycia:

  • Traktując macierze jako funkcje można określić działanie dodawania macierzy. Aby dodać dwie macierze o tych samych wymiarach wystarczy dodać ich odpowiednie elementy.
  • Traktując ciągi jako funkcje można określić dodawanie ciągów.
  • Traktując wielomiany (właściwie funkcje wielomianowe) jako funkcje rzeczywiste \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} otrzymujemy analogiczną definicję dodawania, używaną w analizie matematycznej.
  • Traktując wielomiany jako ciągi współczynników (np. zapisując 3x^2+x+5\; jako (5, 1, 3, 0, 0, \dots)) otrzymuje się definicję sumy wielomianów używaną w algebrze abstrakcyjnej; aby dodać dwa wielomiany należy dodać ich współczynniki. Definicję tę rozszerza się w oczywisty sposób na pierścień szeregów formalnych.

Dodawanie modulo[edytuj | edytuj kod]

Działanie dodawania można określić w pierścieniu Zn.

Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze Z_5\; zachodzi:

0+1\equiv 1 \pmod 5\;
2+3\equiv 0 \pmod 5\;
4+4\equiv 3 \pmod 5\;

Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych, np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma miarę równą sumie ich miar modulo 2\pi\;.

Dodawanie odcinków[edytuj | edytuj kod]

Dodawanie odcinków o długościach a\; i b\; polega na wykreśleniu odcinka o długości a+b\;.

Dodawanie wektorów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Suma wektorów.

Dodawanie wektorów polega na dodawaniu ich współrzędnych. Wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku)

Gdy a\; jest punktem oraz b\; jest wektorem to sumę a+b\; należy rozumieć jako translację punktu a\; o wektor b\;. Wówczas składniki sumy nie są sobie równoważne (b\; jest wektorem i odpowiada przemieszczeniu, a a\; jest punktem) i a\; nazywa się dodajną, a b\;dodajnikiem. Nomenklatura ta jest jednak rzadko spotykana.

Dodawanie liczb kardynalnych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Arytmetyka liczb kardynalnych.

Działanie dodawania można zdefiniować dla dowolnych liczb kardynalnych używając sumy (rozłącznych) zbiorów o mocy, której odpowiadają sumowane liczby.

Dodawanie jako działanie w strukturze algebraicznej[edytuj | edytuj kod]

Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb lub funkcji dających w wyniku liczby, takich jak wielomiany.

Istnieje wiele innych struktur algebraicznych, w których określa się dodawanie. Jest to działanie dwuargumentowe, które spełnia aksjomaty przyjętej struktury. Gdy rozważa się struktury algebraiczne (pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe) to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego. Czasem dla odróżnienia od zwykłego dodawania liczb stosuje się wtedy inny, podobny znak, np. \oplus\;.

We wspomnianych wyżej strukturach algebraicznych dodawanie jest działaniem przemiennym, łącznym, a także rozdzielnym względem mnożenia (oczywiście w przypadku przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).

Równości i kongruencje można dodawać stronami:

  • jeżeli a=b\; i c=d,\; to a+c=b+d\;
  • jeżeli a \equiv b \pmod n\; i c \equiv d \pmod n,\; to a+c \equiv b+d \pmod n\;

Element neutralny i przeciwny[edytuj | edytuj kod]

Element neutralny względem dodawania oznacza się symbolem 0 zwanym: zero.

Jeżeli a\; jest elementem zbioru ze zdefiniowanym działaniem dodawania, to element b\; taki, że a + b = 0\;, nazywa się elementem przeciwnym i oznacza symbolem \ -a\;. Własność zbioru polegającą na tym, że dla każdego elementu istnieje element przeciwny, nazywamy istnieniem odejmowania. We wspomnianych strukturach algebraicznych element przeciwny jest wyznaczony jednoznacznie.

Powiązane działania[edytuj | edytuj kod]

Uwaga: działanie sumy prostej (np. dla przestrzeni) jest wbrew nazwie bardziej związane z iloczynem kartezjańskim niż z sumą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Wacław Sierpiński: Arytmetyka Teoretyczna. Warszawa, 1969.