Dodawanie Minkowskiego

Dodawanie Minkowskiego – działanie określone na rodzinie wszystkich podzbiorów danej przestrzeni liniowej $X$ wzorem

$A + B = \{ a + b \colon a \in A,\; b \in B\}.$

Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru $X$ z określonym działaniem $+$ (np. $(G,+)$ może być grupą), jednakże najcześciej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Jeżeli $a$ jest dowolnym elementem przestrzeni $X$ oraz $A$ jest jej podzbiorem, to stosuje się notację

$\{a\}+A=a+A\,$.

Własności

Dodawanie Minkowskiego jest łączne, przemienne i rozdzielne względem sumy zbiorów, tzn.

$A + (B \cup C) = (A + B) \cup (A + C)$

dla dowolnych podzbiorów $A, B$ i $C$ przestrzeni liniowej $X$. Zbiór $\{0\}$ jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego.

Suma dwóch zbiorów zwartych w przestrzeni liniowo-topologicznej jest zbiorem zwartym. Jeżeli $X$ jest metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną, to dodawanie Minkowskiego jest ciągłe względem metryki Hausdorffa w rodzinie zwartych podzbiorów $X$. Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła. Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:

$|A + B| \leqslant |A| \cdot |B|,$.

Nierówność Brunna–Minkowskiego

Jeżeli $\mu$ oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni $\mathbb R^n$ oraz $A$ i $B$ są zbiorami wypukłymi w $\mathbb R^n$, to

$\mu(A + B)^{1/n} \geqslant \mu(A)^{1/n} + \mu(B)^{1/n}$

Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna–Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej:

Przykład

Dla podzbiorów płaszczyzny $A = \{(1, 0),(0, 1),(0, -1)\}$ i $B = \{(0, 0), (1, 1),(1, -1)\}$, to ich sumą Minkowskiego jest zbiór $A + B = \{(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (0, -1), (1, -2)\}.$

Jeżeli $A$ i $B$ są trójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania $A$ wzdłuż krawędzi $B$, jak na rys. 3-4.