Dodawanie Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dodawanie Minkowskiegodziałanie określone na rodzinie wszystkich podzbiorów danej przestrzeni liniowej X wzorem

A + B = \{ a + b \colon a \in A,\; b \in B\}.

Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru X z określonym działaniem + (np. (G,+) może być grupą), jednakże najcześciej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Jeżeli a jest dowolnym elementem przestrzeni X oraz A jest jej podzbiorem, to stosuje się notację

\{a\}+A=a+A\,.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dodawanie Minkowskiego jest łączne, przemienne i rozdzielne względem sumy zbiorów, tzn.

A + (B \cup C) = (A + B) \cup (A + C)

dla dowolnych podzbiorów A, B i C przestrzeni liniowej X. Zbiór \{0\} jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego.

Suma dwóch zbiorów zwartych w przestrzeni liniowo-topologicznej jest zbiorem zwartym. Jeżeli X jest metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną, to dodawanie Minkowskiego jest ciągłe względem metryki Hausdorffa w rodzinie zwartych podzbiorów X. Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła. Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:

|A + B| \leqslant |A| \cdot |B|,.

Nierówność Brunna–Minkowskiego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mu oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni \mathbb R^n oraz A i Bzbiorami wypukłymi w \mathbb R^n, to

\mu(A + B)^{1/n} \geqslant \mu(A)^{1/n} + \mu(B)^{1/n}

Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna–Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej:

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Minkowski-sumex3.svg
Rys. 1
Rys. 2

Dla podzbiorów płaszczyzny A = \{(1, 0),(0, 1),(0, -1)\} i B = \{(0, 0), (1, 1),(1, -1)\}, to ich sumą Minkowskiego jest zbiór A + B = \{(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (0, -1), (1, -2)\}.

Jeżeli A i Btrójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania A wzdłuż krawędzi B, jak na rys. 3-4.