Domknięcie (topologia)

Domknięcie – w topologii, operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru $A \subseteq X$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany $\overline A$ lub $\operatorname{cl}\;A$ (od ang. closure), zawierający $A$. Innymi słowy:

$\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}$.

Uwagi

• Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
• W dowolnym zbiorze $X$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną oraz $A\subseteq X$, to następujące warunki są równoważne:
  1. $x \in \operatorname{cl}\;A$,
  2. dla każdej bazy otoczeń $\mathcal B(x)$ punktu $x$ i każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $U \cap A \ne \varnothing$,
  3. dla pewnej bazy otoczeń $\mathcal B(x)$ punktu $x$ i każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $U \cap A \ne \varnothing$.
• Jeśli $(X, d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A \subseteq X$, to

$\operatorname{cl}\;A = \{x \in X\colon d(x, A) = 0\}$, gdzie przez $d(x, A)$ rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. $d(x, A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}$. Oznacza to, że zbiór $\operatorname{cl}\;A$ składa się z tych $a\in X$ dla których istnieje ciąg $(x_n)$ elementów zbioru $A$ zbieżny do $a$.

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz $A$ jest podzbiorem zbioru $X$, to punkt z przestrzeni $X$ jest punktem domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru $A$. W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
• Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $X$ punkt należy do domknięcia zbioru $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru $A$.

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A, B\subseteq X$. Wówczas:

• $\operatorname{cl}\;\varnothing = \varnothing$,
• $A \subseteq \operatorname{cl}\;A$,
• $\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}\;A \cup \operatorname{cl}\;B$,
• $\operatorname{cl}(\operatorname{cl}\;A) = \operatorname{cl}\;A$ (idempotentność).

Dalsze własności

• $\operatorname{cl}\;X = X$,
• $A\$ jest domknięty $\iff A = \operatorname{cl}\;A$,
• $A \subset B \implies \operatorname{cl}\;A \subset \operatorname{cl} B$ (monotoniczność),
• $\operatorname{cl}(A \cap B) \subseteq \operatorname{cl}\;A \cap \operatorname{cl}\;B$; ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
  • Ogólniej, jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest dowolną rodziną podzbiorów $X$, to
    $\quad\operatorname{cl}\;\bigcap_{i \in I}~A_i \subseteq \bigcap_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i$.
• Jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$, to
  $\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i \subset \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i$.
• Jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru $X$, to
  $\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i$.
• Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
• Jeśli $Y$ jest podprzestrzenią topologiczną $X$, zawierającą $A$, to domknięcie $A$ w przestrzeni $Y$ jest równe części wspólnej $Y$ i domknięcia $A$ w przestrzeni $X$: $\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)$.
• Dla każdego $A \subset X$ mamy: $\operatorname{cl}\; A = X \setminus \operatorname{Int}\; (X \setminus A)$.

Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze $X$.

Przykłady

• W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
• W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
• W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • przedziału otwartego $(0, 1)$ jest przedział domknięty $[0, 1]$.
  • zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych jest $\mathbb R$.
• W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też

• Domknięcie normalne,
• brzeg zbioru,
• matroid,
• pochodna zbioru,
• wnętrze zbioru.

Literatura

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.