Domknięcie (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny topologii. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.

Domknięcie – w topologii, operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru A \subseteq X nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany \overline A lub \operatorname{cl}\;A (od ang. closure), zawierający A. Innymi słowy:

\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
  • W dowolnym zbiorze X można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
  • Jeśli X jest przestrzenią topologiczną oraz A\subseteq X, to następujące warunki są równoważne:
    1. x \in \operatorname{cl}\;A,
    2. dla każdej bazy otoczeń \mathcal B(x) punktu x i każdego U \in \mathcal B(x) mamy U \cap A \ne \varnothing,
    3. dla pewnej bazy otoczeń \mathcal B(x) punktu x i każdego U \in \mathcal B(x) mamy U \cap A \ne \varnothing.
  • Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną oraz A \subseteq X, to
\operatorname{cl}\;A = \{x \in X\colon d(x, A) = 0\}, gdzie przez d(x, A) rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. d(x, A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}. Oznacza to, że zbiór \operatorname{cl}\;A składa się z tych a\in X dla których istnieje ciąg (x_n) elementów zbioru A zbieżny do a.
  • Jeżeli X jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz A jest podzbiorem zbioru X, to punkt z przestrzeni X jest punktem domknięcia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru A. W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
  • Dla dowolnej przestrzeni topologicznej X punkt należy do domknięcia zbioru A\subset X wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru A.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią topologiczną oraz A, B\subseteq X. Wówczas:

Dalsze własności[edytuj | edytuj kod]

Operacja domknięcia a topologia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze X[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są \varnothing i X), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
  • W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
  • W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.

Literatura[edytuj | edytuj kod]