Dopełnienie ortogonalne

Dopełnienie ortogonalne podzbioru $A$ przestrzeni $V$ z określonym iloczynem skalarnym – zbiór wszystkich elementów w przestrzeni $V,$ które są ortogonalne do każdego elementu zbioru $A.$ Symbolicznie:

$A^{\bot }:=\left\{x\in V:\forall y\in A\ \langle x,y\rangle =0\right\}.$

Własności

• Dopełnienie ortogonalne podzbioru przestrzeni Hilberta jest zbiorem domkniętym.
• W przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}$ dwukrotne złożenie dopełnienia ortogonalnego dla danego zbioru $A\subseteq {\mathcal {H}}$ jest domknięciem powłoki liniowej, tj.

$(A^{\bot })^{\bot }={\overline {\mathrm {lin} A}}.$