Dowód nie wprost

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć, że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.

Dowód nie wprost jest często łatwiejszy do przeprowadzenia niż dowód wprost (wyprowadzający pewną tezę z założeń); stosowany jest szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z subtelnymi własnościami obiektów, o których mówi twierdzenie.

Dowód nie wprost był znany już Sokratesowi, który bardzo chętnie go stosował, jako część metody sokratycznej.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Klasycznym przykładem dowodu nie wprost jest dowód Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych (dowód korzysta z podstawowego twierdzenia arytmetyki). Załóżmy mianowicie, że liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele, i oznaczmy je (wszystkie) symbolami:  p_1, p_2, p_3, \dots p_n Rozważając liczbę (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot  \dots  \cdot p_n)+1 dochodzimy do wniosku, że:

  1. ma ona rozkład na liczby pierwsze, jak każda liczba naturalna oraz
  2. nie dzieli się przez żadną z liczb p_1, p_2, p_3, \dots p_n.

Stąd musi istnieć jeszcze jakaś liczba pierwsza oprócz wymienionych – ale to jest sprzeczne z założeniem, że p_1, p_2, p_3, \dots p_n to wszystkie liczby pierwsze. Uzyskanie sprzeczności z przyjętym wcześniej założeniem pozwala więc wywnioskować, że było ono fałszywe – czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]