Dowód niekonstruktywny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dowód niekonstruktywny – rodzaj dowodu matematycznego istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrycznych o pewnych własnościach), zwykle nie wprost, w którym wykazuje się, że nieprawdziwość tezy twierdzenia prowadziłaby do sprzeczności, z czego wyciąga się wniosek o jej spełnieniu (a więc istnieniu rozpatrywanego rodzaju obiektów) bez podania jakiegokolwiek sposobu ich konstruowania.

Za przykład dowodu niekonstruktywnego może służyć podany niżej dowód następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Istnieją takie dwie liczby niewymierne dodatnie x i y, że xy jest liczbą wymierną.

Dowód:

  • Jeżeli {\sqrt 2}^{\sqrt 2} jest liczbą wymierną, to możemy wziąć
x=y=\sqrt 2.
  • Jeżeli {\sqrt 2}^{\sqrt 2} jest liczbą niewymierną, to biorąc
x={\sqrt 2}^{\sqrt 2}, y={\sqrt 2}
mamy
x^y={\sqrt 2}^{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}=2.

Rozumowania korzystające z zasady szufladkowej Dirichleta również można uznać za niekonstruktywne.

Dowód niekonstruktywny spotyka się czasami z krytyką, która stwierdza, że z samej sprzeczności w razie nieistnienia danego obiektu nie wynika jego istnienie. Odrzucenie tej zasady wymaga jednak modyfikacji niektórych praw logiki, jak prawo wyłączonego środka (zob. prawa rachunku zdań). Krytykę dowodów niekonstruktywnych głosili intuicjoniści, którzy zaproponowali budowę systemu podstaw matematyki bez użycia takich form dowodu.