Droga (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech I = [0, 1] \subset \mathbb R oraz niech X będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie f\colon I \to X.

Punktem początkowym drogi jest f(0), a końcowym f(1). Często mówi się o „drodze z x do y”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w x \in X nazywa się drogę z x do x. Równoważnie można określić ją jako drogę \alpha\colon I \to X taką, że \alpha(0) = \alpha(1) lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli \alpha\colon \mathcal S^1 \to X. Ostatnia równoważność wynika z tego, że \mathcal S^1 może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa I z utożsamionymi punktami 0 i 1.

Zbiór pętli w X zaczepionych w a nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem \Omega(X).

Drogowa spójność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: przestrzeń drogowo spójna.

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń X może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często \pi_0(X).

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem X, który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania f(x) = x oraz g(x) = x^2 będące dwiema różnymi drogami z 0 do 1 na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem[edytuj | edytuj kod]

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech (X, a) będzie taką przestrzenią, drogą w (X, a) nazywa się te drogi w X, których punktem początkowym jest a. Analogicznie pętlą w (X, a) nazywa się pętle zaczepione w a.

Homotopia[edytuj | edytuj kod]

Homotopia między dwiema drogami.
Information icon.svg Osobny artykuł: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy I) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi[edytuj | edytuj kod]

Homotopią dróg z a do b w X nazywamy rodzinę dróg f_t\colon I \to X taką, że

  • f_t(0) = a i f_t(1) = b są stałe,
  • odwzorowanie F\colon I \times I \to X dane wzorem F(s, t) = f_t(s) jest ciągłe.

Pętle[edytuj | edytuj kod]

Homotopią pętli \alpha, \beta \in \Omega(X, a) nazywamy homotopię H\colon I \times I \to X łączącą \alpha oraz \beta spełniającą warunek H(0, t) = H(1, t) = a dla t \in I.

Dla powyższej homotopii każda droga \alpha_t(s) = H(s, t) jest pętlą w X zaczepioną w a. Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia a nie ulegał przesunięciu.

Równoważność[edytuj | edytuj kod]

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w \Omega(X) i pętli w \Omega(X, a)relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi f tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często [f].

Składanie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że f jest drogą z x do y, zaś g z y do z. Złożeniem dróg f i g nazywamy drogę f \circ g zdefiniowaną jako uprzednie przejście po f, a następnie po g:

(f \circ g)(s) = \begin{cases}f(2s) & 0 \le s \le \tfrac{1}{2} \\ g(2s-1) & \tfrac{1}{2} \le s \le 1\end{cases}.

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w a, to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. [(f \circ g) \circ h] = [f \circ (g \circ h)].

Grupa podstawowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie a strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną \pi_1(X, a).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005