Droga (topologia)

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja

Niech $I = [0, 1] \subset \mathbb R$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie $f\colon I \to X$.

Punktem początkowym drogi jest $f(0)$, a końcowym $f(1)$. Często mówi się o „drodze z $x$ do $y$”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w $x \in X$ nazywa się drogę z $x$ do $x$. Równoważnie można określić ją jako drogę $\alpha\colon I \to X$ taką, że $\alpha(0) = \alpha(1)$ lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli $\alpha\colon \mathcal S^1 \to X$. Ostatnia równoważność wynika z tego, że $\mathcal S^1$ może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa $I$ z utożsamionymi punktami $0$ i $1$.

Zbiór pętli w $X$ zaczepionych w $a$ nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem $\Omega(X)$.

Drogowa spójność

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń $X$ może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często $\pi_0(X)$.

Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem $X$, który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania $f(x) = x$ oraz $g(x) = x^2$ będące dwiema różnymi drogami z $0$ do $1$ na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech $(X, a)$ będzie taką przestrzenią, drogą w $(X, a)$ nazywa się te drogi w $X$, których punktem początkowym jest $a$. Analogicznie pętlą w $(X, a)$ nazywa się pętle zaczepione w $a$.

Homotopia

Homotopia między dwiema drogami.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy $I$) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi

Homotopią dróg z $a$ do $b$ w $X$ nazywamy rodzinę dróg $f_t\colon I \to X$ taką, że

• $f_t(0) = a$ i $f_t(1) = b$ są stałe,
• odwzorowanie $F\colon I \times I \to X$ dane wzorem $F(s, t) = f_t(s)$ jest ciągłe.

Pętle

Homotopią pętli $\alpha, \beta \in \Omega(X, a)$ nazywamy homotopię $H\colon I \times I \to X$ łączącą $\alpha$ oraz $\beta$ spełniającą warunek $H(0, t) = H(1, t) = a$ dla $t \in I$.

Dla powyższej homotopii każda droga $\alpha_t(s) = H(s, t)$ jest pętlą w $X$ zaczepioną w $a$. Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia $a$ nie ulegał przesunięciu.

Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w $\Omega(X)$ i pętli w $\Omega(X, a)$ są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi $f$ tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często $[f]$.

Składanie

Załóżmy, że $f$ jest drogą z $x$ do $y$, zaś $g$ z $y$ do $z$. Złożeniem dróg $f$ i $g$ nazywamy drogę $f \circ g$ zdefiniowaną jako uprzednie przejście po $f$, a następnie po $g$:

$(f \circ g)(s) = \begin{cases}f(2s) & 0 \le s \le \tfrac{1}{2} \\ g(2s-1) & \tfrac{1}{2} \le s \le 1\end{cases}$.

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w $a$, to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. $[(f \circ g) \circ h] = [f \circ (g \circ h)]$.

Grupa podstawowa

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie $a$ strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną $\pi_1(X, a)$.

Zobacz też

• homotopia
• grupa podstawowa
• krzywa

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005