Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Drzewo dwumianowe - model rynku, umożliwiający wycenę instrumentów pochodnych.

Mimo swojej prostoty pozwala obliczyć cenę bardzo szerokiej klasy wypłat. Jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach.

Założenia[edytuj | edytuj kod]

  • Na rynku dostępne są:
  • handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach 0 = t_0,t_1,\dots,t_n = T przedziału czasowego [0,T];
  • liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
  • wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
  • rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe[edytuj | edytuj kod]

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy n = 1, rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: t_0=0 oraz t_1=T. Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną (\Omega,\mathcal{F},P), gdzie

  • \Omega=\{\omega_u,\omega_d\},
  • \mathcal{F} = 2^\Omega - \sigma-ciało wszystkich podzbiorów \Omega,
  • P - miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora), taka że P(\{\omega_u\})=p>0, P(\{\omega_d\})=1-p.

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową X określoną na przestrzeni \Omega.

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj | edytuj kod]

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili 0 przynoszą bez ryzyka stopę dochodu r w chwili T. Jeśli przez B_t oznaczymy wartość w chwili t jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

B_0=1,
B_T(\omega_u)=B_T(\omega_d)=1+r.

Proces ceny akcji[edytuj | edytuj kod]

Niech S_t oznacza cenę akcji w chwili t. Zakładamy, że

S_0 = s > 0,
S_T(\omega_u) = S_0u,
 S_T(\omega_d)=S_0d,

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby d < 1 + r < u.

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj | edytuj kod]

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili T była równa wysokości wypłaty X. Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili 0. Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty X:

\Pi(X) = \frac{1}{1+r}\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}(X),

gdzie P^* zdefiniowana w następujący sposób:

P^*(\{\omega_u\}) = \frac{(1 + r) - d}{u-d},
P^*(\{\omega_d\}) = \frac{u - (1+r)}{u-d},

jest równoważną P miarą martyngałową (tzn. taką, że \{\frac{S_k}{B_k}\}_{k=0,1} (zdyskontowany proces cen) jest P^*-martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe[edytuj | edytuj kod]

Model jednookresowy da się uogólnić na n>1, otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jedynie w momentach 1,2,\dots,n. W modelu tym pracujemy na przestrzeni (\Omega,\mathcal{F},Q), gdzie

  • \Omega = \{\omega_u,\omega_d\}^{n},
  • \mathcal{F}=2^\Omega,
  • Q=P^n (miara produktowa),

gdzie P(\{\omega_u\})=p>0, P(\{\omega_d\})=1-p.

Wprowadzamy ponadto filtrację \{\mathcal{F}_t\}_{t=0,1,\dots,n} reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili t włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego[edytuj | edytuj kod]

B_t=(1+r)^t

Proces ceny akcji[edytuj | edytuj kod]

S_0 = s > 0,
S_{t+1} = S_tZ_{t+1},

gdzie Z_1,Z_2,\dots,Z_n są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość u z prawdopodobieństwem p oraz wartość d z prawdopodobieństwem 1-p, ponadto zmienna Z_i jest \mathcal{F}_i-mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik u bądź zredukować czynnikiem d przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

\mathcal{F}_t = \sigma(\{S_s: s\leq t\}).

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy d<1+r<u.

Wycena instrumentu pochodnego[edytuj | edytuj kod]

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową \mathcal{F}_T-mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową Q^*. Jest ona produktem miar P^* takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty X w tym modelu można przedstawić następująco: \Pi_t(X) = \frac{1}{(1+r)^{(T-t)}}\mathbb{E}_{Q^*}(X|\mathcal{F}_t).

W szczególności, dla wypłaty postaci X=f(S_T) zachodzi wzór

\Pi_t(X) = \frac{1}{(1+r)^{(T-t)}}\sum_{i=0}^t {{T-t} \choose i} p_*^i(1-p_*)^{(T-t-i)}f(S_tu^id^{(T-t-i)}),

gdzie

p_* = \frac{(1 + r) - d}{u-d}.

Rozszerzenia modelu[edytuj | edytuj kod]

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

  • opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych Z_i,
  • wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
  • dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa[edytuj | edytuj kod]

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. n-te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami r,\sigma,T jest n-okresowym modelem CRR z parametrami u = e^{\sigma\sqrt{\delta_n}}, d = \frac{1}{u} = e^{-\sigma\sqrt{\delta_n}}. Można pokazać, że proces \{{S}^n_t\}_{0\leq t\leq T}, będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [0,T] do procesu \{S_t\}_{0\leq t\leq T} spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach.. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229-263. 
  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.