Drzewo dwumianowe (ekonomia)

Drzewo dwumianowe jest modelem rynku, umożliwiającym wycenę instrumentów pochodnych. Mimo swojej prostoty pozwala obliczyć cenę bardzo szerokiej klasy wypłat. Jest to model dyskretny, tzn. zakłada, że ceny na rynku zmieniają się jedynie w ustalonych momentach czasu.

Założenia

• Na rynku dostępne są:
  • rachunek bankowy przynoszący bez ryzyka stałą stopę dochodu,
  • instrument ryzykowny (akcja) o nieznanej wartości w przyszłości,
• handel na rynku może odbywać się jedynie w określonych momentach $0 = t_0,t_1,\dots,t_n = T$ przedziału czasowego $[0,T]$;
• liczba możliwych scenariuszy dotyczących kształtowania się cen akcji w przyszłości jest skończona;
• wysokość wypłaty (wypłat) z instrumentu pochodnego, który chcemy wycenić, zależy jedynie od kształtowania się cen akcji;
• rynek jest pozbawiony możliwości arbitrażu, nie ma kosztów transakcyjnych, akcje są doskonale podzielne, nie ma ograniczeń krótkiej sprzedaży.

Drzewo dwumianowe jednookresowe

W modelu dwumianowym jednookresowym mamy $n = 1$, rozważamy więc wartości jedynie w dwóch punktach czasu: $t_0=0$ oraz $t_1=T$. Zbiór możliwych scenariuszy jest dwuelementowy, modelujemy go jako przestrzeń probabilistyczną $(\Omega,\mathcal{F},P)$, gdzie

• $\Omega=\{\omega_u,\omega_d\}$,
• $\mathcal{F} = 2^\Omega$ - $\sigma$-ciało wszystkich podzbiorów $\Omega$,
• $P$ - miara probabilistyczna (może opisywać rzeczywiste prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo subiektywne inwestora), taka że $P(\{\omega_u\})=p>0$, $P(\{\omega_d\})=1-p$.

Wypłatą (z instrumentu pochodnego) w modelu jednookresowym będziemy nazywać zmienną losową $X$ określoną na przestrzeni $\Omega$.

Proces ceny rachunku bankowego

Zakładamy, że środki ulokowane na rachunku bankowym w chwili $0$ przynoszą bez ryzyka stopę dochodu $r$ w chwili $T$. Jeśli przez $B_t$ oznaczymy wartość w chwili $t$ jednostki ulokowanej na rachunku bankowym, mamy:

$B_0=1$,

$B_T(\omega_u)=B_T(\omega_d)=1+r$.

Proces ceny akcji

Niech $S_t$ oznacza cenę akcji w chwili $t$. Zakładamy, że

$S_0 = s > 0$,

$S_T(\omega_u) = S_0u$,

$S_T(\omega_d)=S_0d$,

przy czym aby rynek był wolny od arbitrażu wymagamy, żeby $d < 1 + r < u$.

Wycena instrumentu pochodnego

Idea wyceny wypłaty opiera się na konstrukcji portfela replikującego, tzn. portfela składającego się z takiej ilości jednostek rachunku bankowego oraz z takiej ilości akcji, aby jego wartość w chwili $T$ była równa wysokości wypłaty $X$. Za cenę sprawiedliwą wypłaty przyjmuje się wartość tak skonstruowanego portfela w chwili $0$. Okazuje się, że wynika z tego następujący wzór na wycenę wypłaty $X$:

$\Pi(X) = \frac{1}{1+r}\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}(X)$,

gdzie $P^*$ zdefiniowana w następujący sposób:

$P^*(\{\omega_u\}) = \frac{(1 + r) - d}{u-d}$,

$P^*(\{\omega_d\}) = \frac{u - (1+r)}{u-d}$,

jest równoważną $P$ miarą martyngałową (tzn. taką, że $\{\frac{S_k}{B_k}\}_{k=0,1}$ (zdyskontowany proces cen) jest $P^*$-martyngałem).

Drzewo dwumianowe wielookresowe

Model jednookresowy da się uogólnić na $n>1$, otrzymując model dwumianowy wielookresowy, zwany także modelem Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Zakładamy, że ceny mogą się zmieniać jednynie w momentach $1,2,\dots,n$. W modelu tym pracujemy na przestrzeni $(\Omega,\mathcal{F},Q)$, gdzie

• $\Omega = \{\omega_u,\omega_d\}^{n}$,
• $\mathcal{F}=2^\Omega$,
• $Q=P^n$ (miara produktowa),

gdzie $P(\{\omega_u\})=p>0$, $P(\{\omega_d\})=1-p$.

Wprowadzamy ponadto filtrację $\{\mathcal{F}_t\}_{t=0,1,\dots,n}$ reprezentującą zasób wiedzy o rynku do chwili $t$ włącznie.

Proces ceny rachunku bankowego

$B_t=(1+r)^t$

Proces ceny akcji

$S_0 = s > 0$,

$S_{t+1} = S_tZ_{t+1}$,

gdzie $Z_1,Z_2,\dots,Z_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym: przyjmują wartość $u$ z prawdopodobieństwem $p$ oraz wartość $d$ z prawdopodobieństwem $1-p$, ponadto zmienna $Z_i$ jest $\mathcal{F}_i$-mierzalna. Innymi słowy zakładamy, że w kolejnym momencie czasu cena może zwiększyć się o czynnik $u$ bądź zredukować czynnikiem $d$ przy czym prawdopodobieństwo pójścia w górę bądź w dół jest stałe w czasie. Zasób dostępnej informacji jest wynikiem obserwacji cen akcji, możemy więc napisać

$\mathcal{F}_t = \sigma(\{S_s: s\leq t\})$.

Można pokazać, że, podobnie jak w przypadku drzewa jednookresowego, na rynku nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy $d<1+r<u$.

Wycena instrumentu pochodnego

Wypłatą będziemy nazywać zmienną losową $\mathcal{F}_T$-mierzalną.

W modelu wielookresowym bez arbitrażu również można znaleźć równoważną miarę martyngałową $Q^*$. Jest ona produktem miar $P^*$ takich jak w przypadku jednookresowym. Proces ceny wypłaty $X$ w tym modelu można przedstawić następująco: $\Pi_t(X) = \frac{1}{(1+r)^{(T-t)}}\mathbb{E}_{Q^*}(X|\mathcal{F}_t)$.

W szczególności, dla wypłaty postaci $X=f(S_T)$ zachodzi wzór

$\Pi_t(X) = \frac{1}{(1+r)^{(T-t)}}\sum_{i=0}^t {{T-t} \choose i} p_*^i(1-p_*)^{(T-t-i)}f(S_tu^id^{(T-t-i)})$,

gdzie

$p_* = \frac{(1 + r) - d}{u-d}$.

Rozszerzenia modelu

Możliwe jest rozszerzenie modelu CRR na następujące sposoby:

• opuścić założenie jednakowego rozkładu zmiennych $Z_i$,
• wprowadzić zmienną w czasie stopę procentową,
• dopuścić, aby akcja wypłacała dywidendę.

Związek z modelem Blacka-Scholesa

Słynny model Blacka-Scholesa jest w pewnym sensie granicą pewnych modeli CRR. $n$-te przybliżenie modelu Blacka-Scholesa z parametrami $r,\sigma,T$ jest $n$-okresowym modelem CRR z parametrami $u = e^{\sigma\sqrt{\delta_n}}$, $d = \frac{1}{u} = e^{-\sigma\sqrt{\delta_n}}$. Można pokazać, że proces $\{{S}^n_t\}_{0\leq t\leq T}$, będący liniową interpolacją procesu otrzymanego w tak skonstruowanym modelu CRR zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku $[0,T]$ do procesu $\{S_t\}_{0\leq t\leq T}$ spełniającego stochastyczne równanie różniczkowe

$dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t$.

Bibliografia

• John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein. Option Pricing: A Simplified Approach.. „Journal of Financial Economics”. 7 (3). s. 229-263. 
• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.