Dwumian Newtona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu (x + y)^n można rozwinąć w sumę jednomianów postaci a x^k y^l. W każdym z tych jednomianów współczynnik a jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy x oraz y sumują się do n. Współczynniki a przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala.

Jeśli x,y są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[1] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu x + y można rozłożyć na sumę postaci

(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,
gdzie \tbinom nk oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując x^0=y^0 =1 (także w przypadku, gdy x=0 lub y=0 ) można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.
Uwagi
  1. W szczególności dla x=1 lub y=1 dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona (1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \; {n \choose k} \; x^k
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami n+1 wiersza w trójkącie Pascala
Przykłady
(x+y)^1=x+y
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

Dowód twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla n = 1 jest

(x + y)^1 = x + y = \binom{1}{0} x y^0 + \binom{1}{1} x^0 y = \sum_{k = 0}^{1} \binom{1}{k} x^{1 - k} y^k

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego n. Wtedy dla n + 1 mamy

\begin{align} (x + y)^{n + 1} & = (x + y)(x + y)^n = (x + y)\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k = \\
 & = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k + 1} y^k + \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k} y^{k + 1} = \\
 & = \binom{n}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] x^{n - k + 1} y^k + \binom{n}{n} y^{n+1} = \\
 & = \binom{n+1}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \binom{n+1}{k} x^{(n + 1) - k} y^k + \binom{n+1}{n+1} y^{n+1} = \\
 & = \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^{(n + 1) - k } y^{k} \end{align}

co kończy dowód.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise'owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim. W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2[2][3], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym w X w. n.e. matematykowi hinduskiemu Halajudzie, w XI w. n.e. matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi i w XIII w. matematykowi chińskiemu Yang Hui, którzy uzyskali podobne wyniki[4].

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) r-tą potęgę sumy x+y, w której x,y są rzeczywiste, y>0 oraz |\tfrac{x}{y}|<1:

(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}

Przypisy

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością
  2. Binomial Theorem
  3. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), ss. 147–157
  4. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].