Dyfeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie.

Dyfeomorfizm – w analizie matematycznej, izomorfizm rozmaitości różniczkowalnych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowalnymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech D będzie niepustym podzbiorem otwartym X. Przekształcenie F: DY nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

  1. obraz F(D) jest otwartym podzbiorem Y,
  2. F jest funkcją różnowartościową,
  3. F i F -1 (jako funkcja określona na F(D) są klasy C1.

Z powyższej definicji wynika, że jeśli F jest dyfeomorfizmem, to F i F -1odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.

W szczególnym przypadku, gdy X = Rm, Y = Rk, dyfeomorfizmy to po prostu zanurzenia homeomorficzne klasy C1 o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy C1 w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[1].

Dyfeomorfizm przywiedlny[edytuj | edytuj kod]

Niech D będzie otwartym podzbiorem Rm. Mówi się, że dyfeomorfizm

\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m

jest przywiedlny, gdy istnieją takie i, jm, że

\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j dla (x_1,\ldots, x_m)\in D.

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację[edytuj | edytuj kod]

Funkcja

\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy C1, że

\varphi^\prime(t)\neq 0 dla t\in (a,b)

(por. definicję dla X = Y = Rm). Dyfeomorfizm \varphi zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

\varphi^\prime>0

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

\varphi^\prime<0.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech G będzie otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n, \Gamma\colon [a,b]\to G będzie drogą kawałkami gładką oraz \varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta) będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy \Omega\in F^1_0(G; Y)

\int\limits_{\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega,

gdzie \varepsilon(\varphi)=1, gdy \varphi zachowuje orientację oraz \varepsilon(\varphi)=-1, gdy \varphi zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej M jest dyfeomorfizmem M na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznacza się symbolem Diff M.

Ważne dyfeomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Dyfeomorfizm biegunowy 
Niech B = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \subset \mathbb R^2. Funkcja określona wzorem b(r,\tau)=(r\cos \tau, r\sin \tau) przeprowadza B na obszar \mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leqslant 0\right\}. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia J_B = r.
Dyfeomorfizm sferyczny 
Niech S = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \subset \mathbb R^3. Funkcja określona wzorem s(r, \sigma, \tau) = \left(r\cos \tau \cos \sigma, r\cos \tau \sin \sigma, r\sin \tau \right) przeprowadza zbiór S na obszar \mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}. Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi J_S = r^2 \cos \sigma.
Dyfeomorfizm walcowy 
Niech W = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3. Funkcja określona wzorem w(r, \tau, z) = (r\cos \tau, r\sin \tau, z) przeprowadza W na obszar \mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leqslant 0, y=0\right\}. Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi J_W = r.

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie[edytuj | edytuj kod]

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha, D będzie niepustym, otwartym podzbiorem X oraz będzie dane odwzorowanie F: DY klasy C1. Jeśli F jest różniczkowalne w punkcie x0D oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) X na Y, to istnieje takie otoczenie UD punktu x0, że odzworowanie F|U jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy

  1. John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.