Dynamika światów Robertsona-Walkera

Opisuje zachowanie się światów czasu-przestrzeni (zależność czasową) na bazie równań Einsteina. W kosmologii rozważa się dwa interesujące przypadki:

• Era zdominowana przez materię: gęstość energii pochodzi od materii zawartej w galaktykach. Stosujemy tutaj przybliżenie pyłowe $p=0$ ($p$ – ciśnienie), ponieważ materia ma prędkości chaotyczne o małych wartościach. Matematycznie możemy to zapisać jako:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\rho a^{3})=0,$

gdzie:

$\rho$ – gęstość materii,

$a$ – czynnik skali.

• Era zdominowana przez promieniowanie: większość gęstości energii pochodzi od cząstek relatywistycznych i promieniowania, w tym przypadku jako równanie stanu przyjmujemy $p={\frac {1}{3}}\rho .$ Możemy wtedy zapisać następującą zależność:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\rho a^{4})=0.$

Przyjmując dodatkowe założenie przestrzennej jednorodności oraz że świat jest wypełniony płynem doskonałym, przy czym $\rho =\rho (t),\ p=p(t)$ możemy zapisać tensor Einsteina dla metryki Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera dla składowej czasowej:

$G_{tt}=3\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {3k}{a^{2}}}=8\pi T_{tt},$

gdzie $k$ jest stałą kosmologiczną.

Równania na pozostałe składowe $(G_{rr},G_{\Theta \Theta },G_{\Phi \Phi })$ są proporcjonalne do $G_{tt},$ a więc nie dostarczają nam żadnej dodatkowej informacji.

Dla światów zdominowanych przez materię z początkowych założeń otrzymujemy, że $\rho ={\frac {C}{a^{3}}},\ C$ jest stałą całkowania.

Wtedy możemy napisać następującą równość:

${\dot {a}}^{2}=-k-V_{\mathrm {eff} }(a),\qquad V_{\mathrm {eff} }=-{\frac {8\pi C}{3a}}.$

Świat może istnieć w obszarach, w których $-k>V_{\mathrm {eff} },$ implikuje to warunek ${\dot {a}}^{2}>0.$

Ponieważ obecnie wiemy, że ${\dot {a}}>0$ (Wszechświat rozszerza się), możliwe są trzy scenariusze przyszłości:

• $k=-1$ – świat rozszerza się do nieskończonego promienia ze skończoną prędkością końcową,
• $k=0$ – świat rozszerza się do nieskończonego promienia, ale ze stale zmniejszającą się prędkością,
• $k=+1$ – świat osiąga maksimum dla $a={\frac {8}{3}}\pi C.$ Jest to równocześnie punkt zwrotu, Wszechświat w dalszej ewolucji zapada się.

Wspólną cechą wszystkich trzech przypadków jest to, że zaczynają się one od $a=0,$ nie mają punktów zwrotu dla małych $a$ i jest to tzw. Wielki Wybuch. Ma to poważne implikacje fizyczne, ponieważ oznacza to, że w przeszłości Wszechświat musiał być mniejszy, a co za tym idzie mieć większą gęstość $\rho$ i temperaturę $T.$

Taki sam wynik rozważań uzyskamy dla Wszechświata zdominowanego przez promieniowanie. Wtedy można napisać $\rho ={\frac {B}{a^{4}}}.$ Oznacza to, że

${\dot {a}}^{2}={\frac {8\pi B}{3a^{2}}}-k.$

Jakościowo nie różni się to od równania dla Wszechświata zdominowanego przez materię (początkowym punktem jest $a=0$).

Hawking i Penrose pokazali, że można osłabić założenia powyższych wyprowadzeń, rezygnując z izotropii i jednorodności. Mówią o tym twierdzenia o osobliwościach, które pokazują, że Wszechświat posiadał osobliwość bez względu na wielkość asymetrii. Twierdzenia te jednak nie wyjaśniają natury tej osobliwości.