Dysjunkcja (logika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Dysjunkcja (dyzjunkcja, dysjunkcja/dyzjunkcja Sheffera, funkcja Sheffera, NAND, w terminologii Jana Łukasiewicza niewspółzachodzenie) – zdanie lub funkcja zdaniowa utworzone za pomocą funktora dysjunkcji, jednego z dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych rachunku zdań. Symbolem funktora dysjunkcji jest przeważnie ukośna kreska /. W języku potocznym funktorowi dysjunkcji odpowiada swobodnie funktor „bądź..., bądź...”. Wyrażenie "p / q" odczytywać można „bądź p, bądź q”, „albo p, albo q” (w znaczeniu „zachodzi najwyżej jedno z dwojga”, por.), jako że dysjunkcja jest negacją koniunkcji („nieprawda, że zarazem p i q”). Pojęcie dysjunkcji wprowadził w 1913 Henry Sheffer.

Wartość logiczna[edytuj | edytuj kod]

Zdanie utworzone za pomocą spójnika dysjunkcji jest fałszywe tylko wtedy, gdy prawdziwe są oba argumenty tego spójnika; w przeciwnym wypadku jest zawsze zdaniem prawdziwym.

Tablica prawdy dla dysjunkcji:
p \! q \! p / q \!
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

gdzie:

1 – zdanie prawdziwe
0 – fałszywe

Wybrane własności[edytuj | edytuj kod]

Funktor dysjunkcji posiada pewne własności interesujące ze względu na ekonomię zapisu: prócz binegacji jest jedynym funktorem, za pomocą którego można zdefiniować wszystkie inne; ponadto jest jedynym funktorem jedynego aksjomatu dysjunkcyjnego rachunku zdań.

Twierdzenie, że za pomocą funktora dysjunkcji zdefiniować można wszystkie pozostałe, pochodzi od logika Henry'ego Sheffera, który opublikował je w 1913 w artykule A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants. Wcześniej na ten pomysł wpadł Charles Peirce (artykuł A Boolean Algebra with One Constant z 1880), lecz nie został on dostrzeżony. W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż binegacja i dysjunkcja funktor rachunku zdań, za pomocą którego zdefiniować można wszystkie pozostałe.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

 \neg p \iff p / p,
 p \wedge q \iff \neg \neg (p \wedge q) \iff \neg (p / q),
 p \vee q \iff \neg \neg (p \vee q) \iff \neg ((\neg p) \wedge (\neg q)) \iff \neg ((p / p) \wedge (q / q)) \iff (p / p) / (q / q),
 p \rightarrow q \iff p / (q / q) \iff p / (p / q).

Funktor dysjunkcji stanowi jedyny termin pierwotny rachunku zdań w stylizacji zwanej dysjunkcyjnym rachunkiem zdań. Dysjunkcyjny rachunek zdań jest jedyną formą klasycznego rachunku zdań, w której występuje tylko jeden aksjomat. Aksjomatem tym jest aksjomat Nicoda-Łukasiewicza (forma aksjomatu Mereditha), sformułowany przez Jeana Nicoda (A Reduction in the number of the Primitive Propositions of Logic, 1917), uproszczony przez Jana Łukasiewicza (Uwagi o aksjomacie Nicoda i o "definicji uogólniającej", 1933).

Bramka logiczna[edytuj | edytuj kod]

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

NAND ANSI Labelled.svg

Inne znaczenia terminu "dysjunkcja" w logice[edytuj | edytuj kod]

  1. Niekiedy można spotkać się z rozumieniem dysjunkcji jako kontrawalencji, czyli alternatywy wykluczającej; w tym znaczeniu słowo to bywa używane w literaturze z zakresu nauk humanistycznych.
  2. Sporadycznie spotyka się użycie terminu "dysjunkcja" w znaczeniu binegacji.
  3. W literaturze z zakresu informatyki spotyka się słowo "dysjunkcja" w znaczeniu zapożyczonym z języka angielskiego, gdzie jest ono synonimem alternatywy. Angielskim odpowiednikiem polskiej dysjunkcji jest natomiast termin "alternative denial".

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło NAND w Wikisłowniku

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Charles Peirce, 1880. "A Boolean Algebra with One Constant". In Hartshorne, C, and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20. Harvard University Press.
  • H. M. Sheffer, 1913. "A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants," Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]