Działanie dwuargumentowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. f(a, b), opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. a \oplus b, choć oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) \diamondsuit wyróżnia się notacje

  • przedrostkową, prefiksową lub polską,
    \diamondsuit(x, y),
  • przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,
    (x, y)\diamondsuit,
  • wrostkowa, infiksowa,
    (x \;\diamondsuit\; y).

Przykładowo wyrażenie wrostkowe 2 \cdot (4 - 1) + 3, będzie miało następującą postać

  • prefiksową: +\, \cdot\, 2\, -\, 4\; 1\; 3,
  • postfiksową: 2\, 4\, 1\, -\, \cdot\, 3\, +.

Przewagą notacji przyrostkowej jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

  • plus:
    + \oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus lub
  • zwężających się ku dołowi:
    \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee.

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę - \circleddash \ominus \boxminus.

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

  • kropkę lub okrągły znak:
    \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc,
  • iks:
    \times \otimes \bigotimes \boxtimes,
  • gwiazdkę:
    \star \ast \circledast lub
  • zwężające się ku górze
    \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge.

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez \cdot^{-1}, notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: algebra ogólna.

Działania wewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Działanie wewnętrzne to funkcja przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru X element tego zbioru,

\heartsuit\colon X \times X \to X,\quad \forall_{x, y \in X}\; (x, y) \mapsto \heartsuit(x, y)

Strukturę (X, \heartsuit) nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie \heartsuit ma dodatkowo element neutralny, to struktura (X, \heartsuit) jest monoidem. Jeśli struktura (X, \diamondsuit, \heartsuit) jest grupą ze względu na przemienne działanie \diamondsuit i półgrupą ze względu na \heartsuit, przy czym działanie \heartsuit jest rozdzielne względem \diamondsuit, to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie \heartsuit jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych są działaniami dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par postaci (x, 0). Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest 0, elementem neutralnym mnożenia jest 1. Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: x^y, które parze liczb (x, y) przypisuje odpowiednią potęgę: \forall_{x, y \in \mathbb N}\;(x, y) \mapsto x^y.

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.

Działanie składania funkcji \circ\colon X \times X \to X jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze X. W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne.

Działania zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdej elementom iloczynu kartezjańskiego zbiorów X oraz Y element pewnego zbioru Z,

\spadesuit\colon X \times Y \to Z,\quad \forall_{x \in X, y \in Y}\; (x, y) \mapsto \spadesuit(x, y)

Przykładami takich działań są

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]