Dziedzina całkowitości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dziedzina całkowitościniezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa, jest pierścień całkowity.

Własności[edytuj | edytuj kod]

jeśli ac = bc, to a = b.
  • Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
  • Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu a jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: a a_1, a a_2, \ldots, a a_n. Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami. Jednak wówczas ab=ac i z własności skracania: b=c.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.