Dzielnik zera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Dzielnik zera – w pierścieniu element a, dla którego istnieje niezerowy element b taki, że ab=0

Dla nietrywialnego pierścienia przykładem takiego elementu jest sam element zero. Pierścień przemienny z jedynką, w którym jest to jedyny dzielnik zera i 1 \neq 0, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało. Jeżeli dzielnik zera jest różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór dzielników zera danego pierścienia A jest sumą mnogościową ideałów pierwszych. Dowód (w przypadku, gdy istnieją właściwe dzielniki zera) opiera się na lemacie Zorna. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez właściwy dzielnik zera jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej inkluzją znajdujemy za pomocą lematu Zorna ideał maksymalny \mathcal M zawierający ideał główny generowany przez dowolny właściwy dzielnik zera. Ideał ten jest pierwszy, bo jeśli by istniały takie a, b \in A, że ab \in \mathcal M i a \not \in \mathcal M oraz b \not \in \mathcal M, to ideał generowany przez a, \mathcal M składałby się z dzielników zera i zawierałby ideał maksymalny \mathcal M, co jest sprzeczne z maksymalnością \mathcal M.
  • Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.

Dowód: Gdyby dla elementu a istniały takie elementy b i c, że a b = 0, a c = c a = 1, to:

c (ab) = c 0=0
0 = (ca) b = b

i b nie byłby niezerowy.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}

ponieważ na przykład:

\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.