Dzielnik zera

Dzielnik zera – w pierścieniu element $a$, dla którego istnieje niezerowy element $b$ taki, że $ab=0$

Dla nietrywialnego pierścienia przykładem takiego elementu jest sam element zero. Pierścień przemienny z jedynką, w którym jest to jedyny dzielnik zera i $1 \neq 0$, nazywamy dziedziną całkowitości. Dziedziną całkowitości jest pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało. Jeżeli dzielnik zera jest różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera.

Własności

• Zbiór dzielników zera danego pierścienia A jest sumą mnogościową ideałów pierwszych. Dowód (w przypadku, gdy istnieją właściwe dzielniki zera) opiera się na lemacie Zorna. Zauważamy najpierw, że ideał główny generowany przez właściwy dzielnik zera jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej inkluzją znajdujemy za pomocą lematu Zorna ideał maksymalny $\mathcal M$ zawierający ideał główny generowany przez dowolny właściwy dzielnik zera. Ideał ten jest pierwszy, bo jeśli by istniały takie $a, b \in A$, że $ab \in \mathcal M$ i $a \not \in \mathcal M$ oraz $b \not \in \mathcal M$, to ideał generowany przez $a, \mathcal M$ składałby się z dzielników zera i zawierałby ideał maksymalny $\mathcal M$, co jest sprzeczne z maksymalnością $\mathcal M$.
• Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.

Dowód: Gdyby dla elementu $a$ istniały takie elementy $b$ i $c$, że $a b = 0$, $a c = c a = 1$, to:

$c (ab) = c 0=0$

$0 = (ca) b = b$

i $b$ nie byłby niezerowy.

Przykłady

• $\mathbb Z_n$ dla dowolnego niepierwszego n, np. w $\mathbb Z_4$ 2⋅2 = 0, więc 2 jest właściwym dzielnikiem zera;
• Liczby dualne;
• Liczby podwójne;
• Macierze osobliwe – np. w pierścieniu macierzy 2x2 dzielnikiem zera jest

$\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$

ponieważ na przykład:

$\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ -2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}$

Zobacz też

• pierścień,
• Dziedzina całkowitości,
• pierścienie Z_n,
• Element odwracalny.