Ekspander

W teorii grafów, ekspander oznacza graf o niewielkiej liczbie krawędzi, w którym każdy podzbiór wierzchołków ma dużo sąsiadów. Istnieje kilka nierównoważnych formalizacji tej własności, definiujących różne klasy ekspanderów. Ekspandery pozwoliły na uzyskanie kilku istotnych wyników z różnych dziedzin informatyki: dowodów w teorii złożoności, projektowaniu sieci sortujących, kodów korekcji błędów, ekstraktorów losowości i odpornych na błędy schematów komunikacji w sieciach komputerowych.

Definicje

W zależności od kontekstu, używa się różnych sposobów mierzenia ekspansji grafu:

Ekspansja wierzchołkowa

$\alpha$-ekspansja wierzchołkowa grafu to współczynnik

$g_\alpha(G) = \min_{1 \le |S|\le \alpha{n}} \frac{|\Gamma(S)|}{|S|}$

gdzie $\Gamma(S)$ oznacza zbiór wszystkich sąsiadów zbioru $S$ (wierzchołków połączonych z tym zbiorem krawędzią). W niektórych zastosowaniach używa się pojęcia ekspansji jednokrawędziowej, gdzie bierze się pod uwagę tylko sąsiadów połączonych dokładnie jedną krawędzią z $S$.

Ekspansja krawędziowa

Współczynnik ekspansji krawędziowej grafu $G$ definiuje się jako:

$h_\alpha(G) = \min_{1 \le |S|\le \alpha{n} } \frac{|\partial(S)|}{|S|}$

gdzie $\partial(S)$ oznacza zbiór krawędzi które łączą wierzchołek z $S$ z wierzchołkiem spoza $S$.

Ekspansja spektralna

Przedstawiając graf jako macierz sąsiedztwa, można zdefiniować ekspansję w terminach wartości własnych tej macierzy. Macierz ta jest z definicji symetryczna, posiada zatem $n$ rzeczywistych wartości własnych $\lambda_0 \ge \lambda_1 \ge \ldots \ge \lambda_{n-1}$. W przypadku grafu regularnego $\lambda_0$ jest równa stopniowi grafu $d$. Różnica $d-\lambda_1$ nazywana jest przerwą spektralną.

Zależności pomiędzy definicjami

Powyższe zależności są ze sobą powiązane. Oczywista jest zależność: $h_\alpha(G) \ge g_\alpha(G)$.

Zależności pomiędzy ekspansją spektralną a pozostałymi zależnościami wyglądają następująco (dla grafu regularnego $G$):

$\frac{1}{2}(d - \lambda_1) \le h_{1/2}(G) \le \sqrt{2d(d - \lambda_1)}$

$g_\alpha(G) \ge \frac{1}{(1-\alpha)(\frac{\lambda_1}{d})^2+\alpha}$

Przykłady ekspanderów

Losowo wygenerowany graf (przez łączenie krawędziami losowych wierzchołków) z dużym prawdopodobieństwem będzie miał wysokie współczynniki ekspansji.

Znane są również deterministyczne konstrukcje ekspanderów o dobrych własnościach. Przykładem jest rodzina grafów Ramanujan, o maksymalnej możliwej przerwie spektralnej. Kombinatoryczne konstrukcje takie jak zig-zag product, pozwalają uzyskiwać w prosty sposób grafy o dużej ekspansji wierzchołkowej.