Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii

(Przekierowano z Eksponenta)
Skocz do: nawigacji, szukaj

Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

f(x) = ax, gdzie a > 0.

Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa a funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla a = 1 funkcja ax jest funkcją stałą.

[edytuj] Własności

  • \quad  a^{x+y}=a^x \cdot a^y
  • Dla a > 1 funkcja wykładnicza o podstawie a jest rosnąca, dla 0<a<1\quad malejąca. Jeśli \quad a=1 to funkcja \quad  f(x)=a^x jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:
(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=

=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla a=e\quad mamy

(e^x)'=e^x\quad
  • Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 jest (przy argumencie dążącym do +\infty) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

[edytuj] Funkcja eksponencjalna

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: exp(x) (nazywane skrótowo eksponensem).

Cechą funkcji f(x)=e^x\quad jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

Wykres funkcji y=e^x\quad:

Exp plot real.png

[edytuj] Zobacz też