Ekstrapolator rzędu zerowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ekstrapolator rzędu zerowego (interpolator rzędu zerowego, ang. zero-order hold, ZOH) – matematyczny model, który opisuje układ dokonujący konwersji sygnału poprzez podtrzymanie wartości każdej z próbek przez jeden okres próbkowania.

Ekstrapolator rzędu zerowego posiada szereg zastosowań w elektronice i telekomunikacji. Służy do

Model dla dziedziny czasu[edytuj | edytuj kod]

Rys. 1. Funkcja prostokątna, przesunięta i przeskalowana względem czasu, wykorzystywana przy analizie ekstrapolatora zerowego rzędu w dziedzinie czasu.
Rys. 2. Sygnał przedziałami ciągly xZOH(t).
Rys. 3. Modulowana grzebieniowa funkcja Dirac'a xs(t).

Ekstrapolator zerowego rzędu rekonstruuje następującą funkcję czasu ciągłego z ciągu próbek x[n], przy założeniu jednej próbki na dany przedział czasu T:

x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2 -nT}{T} \right) \
gdzie \mathrm{rect}() \ jest funkcją prostokątną.

Na rys. 1 przedstawiona jest funkcja \mathrm{rect} \left(\frac{t-T/2}{T} \right), a na rys. 2 przedstawiony jest sygnał x_{\mathrm{ZOH}}(t)\, przedziałami ciągły.

Model dla dziedziny częstotliwości[edytuj | edytuj kod]

Powyższe równanie wyjściowe ekstrapolatora rzędu zerowego można modelować również jako wyjście stacjonarnego filtru liniowego z odpowiedzią impulsową równą funkcji prostokątnej i z wejściem w postaci sekwencji impulsów diraca przeskalowanych do wartości próbek. Można wówczas przeanalizować filtr w dziedzinie częstotliwościowej, porównując z innymi metodami rekonstrukcji takimi jak wzór interpolacji Whittaker'a-Shannon'a (wynikający z twierdzenia Nyquist'a-Shannon'a) lub takimi jak Ekstrapolator rzędu pierwszego albo Interpolacja liniowa pomiędzy wartościami próbek.

W metodzie tej, sekwencja impulsów diraca, xs(t), reprezentująca próbki dyskretne, x[n], poddawana jest filtracji filtrem dolnoprzepustowym w celu rekonstrukcji sygnału sygnału ciągłego x(t).

Nawet jeśli nie jest to tym co Przetwornik cyfrowo-analogowy wykonuje w rzeczywistości, to wyjście przetwornika cyfrowo-analogowego można zamodelować poprzez zastosowanie hipotetycznej sekwencji impulsów Diraca, xs(t), do stacjonarnego filtru liniowego z takimi charakterystykami (które, dla stacjonarnego układu liniowego, można w pełni opisać za pomocą odpowiedzi impulsowej) tak by każdy impuls wejściowy skutkował poprawnym stałym pulsem na wyjściu.

Rozpocznijmy zdefiniowaniem sygnału ciągłego w czasie na podstawie wartości próbek, jak powyżej ale z użyciem funkcji delta zamiast funkcji prostokątnych:


\begin{align}
x_s(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta\left(\frac{t - nT}{T}\right) \\
& {} = T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t - nT).
\end{align}

Przeskalowanie z użyciem T, które wynika w naturalny sposób ze skalowania w czasie funkcji delta, przynosi wartość średnią xs(t) równą średniej wartości próbek, tak, że potrzebny Filtr dolnoprzepustowy będzie miał współczynnik wzmocnienia równy 1. Niektórzy autorzy korzystają ze skalowania, podczas gdy wielu innych pomija skalowanie czasowe i T, uzyskując w rezultacie model filtru dolnoprzepustowego z wzmocnieniem T i stąd zależność od jednostek pomiaru czasu.

Rys. 4. Odpowiedź impulsowa ekstrapolatora rzędu zerowego hZOH(t). Funkcja ta jest identyczna z funkcją prostkątną pokazaną na rys. 1, z tą jednak różnicą, że teraz jest przeskalowana tak by jej pole powierzchni równe było 1 a więc aby filtr miał wzmocnienie równe 1.

Ekstrapolator rzędu zerowego to hipotetyczny filtr albo stacjonarny układ liniowy, który dokonuje konwersji sekwencji modulowanych impulsów Diraca xs(t) na sygnał przedziałami stały (pokazany na rys. 2):

x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T}-\frac{1}{2} \right) \

co daje w efekcie odpowiedź impusową (pokazaną na rys. 4) opisaną wzorem:

h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T}-\frac{1}{2} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} & \mbox{if } 0 \le t < T  \\
0           & \mbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases} \

W efekcie otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową, którą stanowi (ciągła) transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej.

H_{\mathrm{ZOH}}(f)\, = \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-i 2 \pi fT}}{i 2 \pi fT} = e^{-i \pi fT} \mathrm{sinc}(fT) \
gdzie \mathrm{sinc}(x) \ to (znormalizowana) funkcja sinc \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} wykorzystywana w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów.

Transmitancja ekstrapolatora rzędu zerowego może być określona poprzez dokonanie podstawienia s = i 2 π f:

H_{\mathrm{ZOH}}(s)\, = \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \

W praktyce przetwornik analogowo-cyfrowy nie daje na swoim wyjściu sekwencji impulsów Diraca xs(t) (co w przypadku filtrowania idealnie dolnoprzepustowego, skutkowało by, przed próbkowaniem, w tle, unikalnym sygnałem o ograniczonym paśmie) ale zamiast tego na wyjściu pojawia sie sekwencja pulsów o kształcie prostokątnym, xZOH(t) (funkcja przedziałami ciągła), co oznacza, że w działanie przetwornika wpisany jest efekt ekstrapolatora rzędu zerowego dla charakterystyki częstotliwościowej przetwornika, skutkujacy łagodnym spadkiem wzmocnienia dla wyższych częstotliwości (spadek o 3.9224 dB dla częstotliwości Nyquista, czemu odpowiada wzmocnienie o sinc(1/2) = 2/π). Taki spadek jest konsekwencją własności podtrzymania tradycyjnego przetwornika cyfrowo-analogowego i nie jest skutkiem próbkowania z podtrzymaniem (ang. sample and hold), które mogło by poprzedzić konwencjonalny przetwornik analogowo-cyfrowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]