Element algebraiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element algebraiczny - uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech K będzie podciałem ciała L. Element a \in L nazywamy elementem algebraicznym nad K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała K, którego pierwiastkiem jest a.

Element nie będący algebraicznym nad K nazywamy elementem przestępnym nad K w ciele L.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór wszystkich elementów ciała L algebraicznych nad K tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała K.
  • Jeśli a\in L jest elementem algebraicznym nad K, to
K(a)=K[a]=\{f(a)\in L\colon\, f\in L[x]\} (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
  • Dla każdego elementu algebraicznego a\in L nad K istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy p_a o współczynnikach z ciała K (tj. element pierwszy w pierścieniu K[x]), którego pierwiastkiem jest a. Wielomian p_a nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a. Zachodzi [F(a):F]=\deg p_a. Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego a.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.
  2. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.