Elementy minimalny i maksymalny

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P, \leqslant)$ nazywamy każdy taki element $x$, że nie ma w $P$ elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

$\forall y \in P : y \leqslant x \Rightarrow x = y$.

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P, \leqslant)$ nazywamy każdy taki element $x$, że nie ma w $P$ elementów większych od niego. Symbolicznie:

$\forall y \in P : x \leqslant y \Rightarrow x = y$.

Uwagi

• W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
• Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Te same własności ma element maksymalny.

Przykłady

• Rozważmy zbiór N∪{-1}, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, a relacja $\preccurlyeq$ częściowego porządku określona jest następująco:

$a\preccurlyeq b \iff a\leqslant b$ dla $a, b \in N$

$-1 \preccurlyeq -1$

−1 jest jedynym elementem maksymalnym tej relacji lecz nie jest elementem największym.

• W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku '<' zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:

"Białka" < "Dunajec" < "Wisła"

"Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"

"Noteć" < "Warta" < "Odra"

Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne).

Zobacz też

• aksjomat wyboru
• element najmniejszy i największy