Element neutralny

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja

Niech $S$ będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym $\diamondsuit$. Element $e$ nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

• $\forall_{a \in S} \; e \;\diamondsuit\; a = a$,
• $\forall_{a \in S} \; a \;\diamondsuit\; e = a$.

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez $+$ i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem $0$ i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą $\cdot, \times$ lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku $1$, który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera $e$ oraz $I$ oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady

element neutralny obustronny

• Zero w grupie addytywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R^+$.
• Jedynka w grupy multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych $\mathbb R^*$.
• Macierz jednostkowa dla mnożenia w pierścieniu macierzy kwadratowych ustalonego wymiaru.
• Odwzorowanie tożsamościowe w grupach bijekcji (ze składaniem przekształceń).
• Jedynka nie jest elementem neutralnym mnożenia liczb całkowitych zawężonego do zbioru liczb parzystych, gdyż jest liczbą nieparzystą.

elementy neutralne jednostronne

• Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:

  $\forall_{x \in \mathbb R}\; x - 0 = x$,

jednocześnie

$\forall_{x \in \mathbb R}\; 0 - x = -x$,

a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.

• Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech $x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor$ będzie działaniem w zbiorze $S = \{x \in \mathbb R: x \geqslant 1\}$, gdzie $\lfloor \cdot \rfloor$ oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba $y < 2$ jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem

  $\forall_{S \ni x, y < 2}\; x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor = x \cdot 1 = x$.

Własności

• Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
• Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Zobacz też

• łączność, przemienność, rozdzielność
• element odwrotny