Element neutralny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech S będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym \diamondsuit. Element e nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

  • e \in S,
  • \forall_{a \in S} \; e \;\diamondsuit\; a = a,
  • \forall_{a \in S} \; a \;\diamondsuit\; e = a.

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez + i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem 0 i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą \cdot, \times lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku 1, który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera e oraz I oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

element neutralny obustronny
elementy neutralne jednostronne
  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
    \forall_{x \in \mathbb R}\; x - 0 = x,
jednocześnie
\forall_{x \in \mathbb R}\; 0 - x = -x,
a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor będzie działaniem w zbiorze S = \{x \in \mathbb R: x \geqslant 1\}, gdzie \lfloor \cdot \rfloor oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba y < 2 jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
    \forall_{S \ni x, y < 2}\; x \;\diamondsuit\; y = x \cdot \lfloor y \rfloor = x \cdot 1 = x.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]