Element nilpotentny

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Element nilpotentny lub nilpotent to taki element x pierścienia P, którego pewna potęga jest zerem, czyli xn = 0 dla pewnego n \in \mathbb{N}.

Spis treści

[edytuj] Własności

Twierdzenie. Niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera.

Dowód. Niech x \in P będzie niezerowym elementem nilpotentnym pierścienia P. Oznacza to, że dla pewnego n \in \mathbb{N} zachodzi x^n = 0\;. Ponieważ, z założenia, element x\; jest niezerowy, to n > 1\;. Oznacza to, że

x^n = x x^{n - 1} = 0\;

co dowodzi tezy.

Twierdzenie. Suma dwóch elementów nilpotentnych, które są ze sobą przemienne, jest także elementem nilpotentnym.

Dowód. Niech P\; będzie pierścieniem przemiennym, a x, y \in P dwoma elementami nilpotentnymi. Oznaczmy przez m, n \in \mathbb{N} liczby takie, że x^m = 0\; i y^n = 0\;. Ponieważ, z założenia, elementy x\; i y\; są ze sobą przemienne, to możemy zastosować wzór Newtona dla wyrażenia (x + y)^{m + n}\;, otrzymując

(x + y)^{m + n} = \sum_{k = 0}^{m + n} \binom{m + n}{k} x^{k} y^{m + n - k}

Dla 0 \leqslant k < m\; zachodzi m + n - k > n\;, czyli y^{m + n - k} = 0\; i składniki odpowiadające tym indeksom k\; są zerami. Pozostałe składniki odpowiadają k \geqslant m\;, czyli w tym przypadku x^k = 0\;. Oznacza to, że wszystkie składniki w powyższej sumie są zerami, a więc i cała suma jest zerem. Element x + y\; jest więc elementem nilpotentnym.

Wniosek. W pierścieniu przemiennym suma dowolnych dwóch elementów nilpotentnych jest elementem nilpotentnym.

[edytuj] Przykłady

W przypadku liczb rzeczywistych wiemy, że potęga naturalna dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest także niezerowa. Oznacza to, że jedynym elementem nilpotentnym jest zero. To samo rozumowanie prowadzi do analogicznego wniosku dla liczb całkowitych, wymiernych i zespolonych. Wynik ten, można uogólnić. Zauważmy, że każdy nizerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera, a więc jeśli pierścień nie zawiera dzielników zera, to nie zawiera także nietrywialnych elementów nilpotentnych.

W pierścieniu \mathbb{Z}_9 nilpotentne są elementy 0,3,6. Istotnie, jest 32 = 0 oraz 62 = 0. Pozostałe elementy są odwracalne, a więc nie są dzielnikami zera i w rezultacie nie są nilpotentami.

[edytuj] Pierścień zredukowany

Pierścień, który nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych nosi nazwę pierścienia zredukowanego.

Jako przykład, pierścień liczb rzeczywistych jest zredukowany.

W pierścieniu zredukowanym R, każdy element idempotentny e \in R należy do centrum R, Z(R).

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Element_nilpotentny”