Element pierwszy

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

Definicja

Elementem pierwszym dziedziny całkowitości $\mathrm{R}$ nazywamy taki niezerowy element $x \in \mathrm{R}$, który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów $a, b \in \mathrm{R}$ jeśli x dzieli iloczyn ab, to x dzieli a lub x dzieli b.

Własności

• Jeżeli $x \in \mathrm{R}$ jest elementem pierwszym $\mathrm{R}$ i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z $\mathrm{R}$, to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
• Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
• Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy - pojęcia te są wtedy równoważne.
• Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.