Elementy minimalny i maksymalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym (P, \leqslant) nazywamy każdy taki element x, że nie ma w P elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

\forall y \in P : y \leqslant x \Rightarrow x = y.

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym (P, \leqslant) nazywamy każdy taki element x, że nie ma w P elementów większych od niego. Symbolicznie:

\forall y \in P : x \leqslant y \Rightarrow x = y.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
  • Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Te same własności ma element maksymalny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Rozważmy zbiór N∪{−1}, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3,...}, a relacja \preccurlyeq częściowego porządku określona jest następująco:
a\preccurlyeq b \iff a\leqslant b dla a, b \in N
-1 \preccurlyeq -1
Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są −1 oraz 1. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.
  • W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku '<' zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:
"Białka" < "Dunajec" < "Wisła"
"Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"
"Noteć" < "Warta" < "Odra"
"Moskwa" < "Oka" < "Wołga"
"Otava" < "Wełtawa" < "Łaba"
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]