Endomorfizm Frobeniusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Endomorfizm Frobeniusa – w algebrze przemiennej i teorii ciał będących działami matematyki szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą p, w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego p-tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech R będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą p (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa F określony jest wzorem

F(r) = r^p

dla wszystkich elementów r \in R. Jest on zgodny z mnożeniem w R, gdyż

F(rs) = (rs)^p = r^p s^p = F(r) F(s),

a ponadto widać, iż F(1) = 1. Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w R. Wyrażenie (r + s)^p można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ p jest liczbą pierwszą, to dzieli ona p!, lecz nie dzieli q! dla q < p, skąd wynika, że p będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

\frac{p!}{k! (p-k)!}

dla 1 \leqslant k \leqslant p - 1. Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza r^p orazs^p są podzielne przez p, które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

F(r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F(r) + F(s),

co dowodzi, że F jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności F nie jest automorfizmem. Niech K będzie na ciałem \mathbf F_p(t), tzn. ciałem skończonym o p elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym t. Okazuje się, że obraz F nie zawiera t, co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element K, którego obrazem w F jest t. Element ten jest funkcją wymierną \tfrac{q(t)}{r(t)}, której p-ta potęga \left(\tfrac{q(t)}{r(t)}\right)^p, wynosi t. W związku z tym p(\deg q - \deg r) = 1, co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm F nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by F nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R ma element nilpotentny rzędu nie większego niż p.

Punkty stałe[edytuj | edytuj kod]

Niech R będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy R, które spełniają równość x^p = x. Są to wszystkie pierwiastki równania x^p - x, a ponieważ jest ono stopnia p, to może mieć ono co najwyżej p rozwiązań. Są to dokładnie elementy 0, 1, 2, \dots, p - 1. Wynika stąd, że zbiór punktów stałych F jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów R postaci

x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \dots.

Przyłożenie e-tej iteracji F do pierścienia zawierającego ciało K o p^e elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy K. Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbf F_q oznacza ciało skończone o q elementach, gdzie q = p^e. Zgodnie z powyższym rozumowaniem F ustala \mathbf F^p. Jeżeli e = 2, to F^2, druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala p^2 elementów, zatem ustala także \mathbf F^{p^2}. W ogólności F^e ustala \mathbf F^{p^e}. Co więcej, F generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech X będzie schematem nad ciałem k charakterystyki p. Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny U = \operatorname{Spec}\; R (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ X jest k-schematem, to k zawiera się w R. Powoduje to, iż R musi być pierścieniem charakterystyki p, dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa F dla R jak wyżej. Przekształcenie F komutuje z lokalizacją, przez co F skleja się dając endomorfizm X.

Jednakże F nie musi być endomorfizmem k-schematów. Jeżeli k nie jest \mathbf F^p, to F nie ustali k i w konsekwencji nie będzie przekształceniem k-algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie F(k) = k^p w k: ponieawż X jest k-schematem, to jest także k^p-schematem. W ten sposób F jest także odwzorowaniem k^p-schematów.

Ciała lokalne[edytuj | edytuj kod]

Definicja F dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego L/K ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech L/K będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz pierścieniem liczb całkowitych \mathcal O_K ciała K takim, że ciało reszt – liczby całkowite K modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny \varphi – jest ciałem skończonym rzędu q. Jeżeli \Phi jest ideałem pierwszym L nad \varphi, to nierozgałęzienie L/K oznacza, że liczby całkowite ciała L modulo \Phi, ciała reszt L, jest ciałem skończonym rzędu q^f stanowiącym rozszerzenie ciała reszt K, gdzie f oznacza stopień L/K. Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych \mathcal O_L ciała L wzorem

s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi.

Ciała globalne[edytuj | edytuj kod]

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń L/K ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych \Phi ciała L nierozgałęzionych w L/K. Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu \Phi jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych L, jak w przypadku lokalnym, wzorem

s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi,

gdzie q jest rzędem ciała rozkładu \mathcal O_K \mod \Phi.

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wielomian x^5 - x - 1 ma wyróżnik równy 15 \cdot 151, jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej 3; jest także nierozkładalny modulo 3. Dlatego dołączenie jego pierwiastka \rho do ciała liczb 3-adycznych \mathbb Q_3 daje nierozgałęzione rozszerzenie \mathbb Q_3(\rho) ciała \mathbb Q_3. Można znaleźć obraz \rho w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego \rho^3. co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych \mathbb Z_3[\rho]; jest to wielomian czwartego stopnia względem \rho o współczynnikach będących 3-adycznymi liczbami całkowitymi \mathbb Z_3. Wielomianem tym, modulo 3^8, jest

\rho^3 + 3(460 + 183\rho - 354\rho^2 - 979\rho^3 - 575\rho^4).

Jest on algebraiczny nad \mathbb Q i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia \mathbb Q w \mathbb Q_3; co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia 120, rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki p-adyczne.

Jeżeli L/K jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego \varphi wyjściowego ciała K. Rozważając przykładowo rozszerzenie \mathbb Q(\beta) ciała \mathbb Q uzyskanego przez dołączenie pierwiastka \beta spełniającego

\beta^5 + \beta^4 - 4\beta^3 - 3\beta^2 + 3\beta + 1 = 0

do \mathbb Q widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

2\cos\tfrac{2 \pi n}{11},

gdzie n jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej \beta:

\beta^2 - 2,\; \beta^3 - 3\beta,\; \beta^5 - 5\beta^3 + 5\beta

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych 2, 3, 5 i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od 11 lub postaci 22n + 1 (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo p dla p-tej potęgi pierwiastka \beta.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]