Endomorfizm Frobeniusa

Endomorfizm Frobeniusa – w algebrze przemiennej i teorii ciał będących działami matematyki szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą $p,$ w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego $p$-tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą $p$ (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa $F$ określony jest wzorem

$F(r) = r^p$

dla wszystkich elementów $r \in R.$ Jest on zgodny z mnożeniem w $R,$ gdyż

$F(rs) = (rs)^p = r^p s^p = F(r) F(s),$

a ponadto widać, iż $F(1) = 1.$ Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w $R.$ Wyrażenie $(r + s)^p$ można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, to dzieli ona $p!,$ lecz nie dzieli $q!$ dla $q < p,$ skąd wynika, że $p$ będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

$\frac{p!}{k! (p-k)!}$

dla $1 \leqslant k \leqslant p - 1.$ Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza $r^p$ oraz$s^p$ są podzielne przez $p,$ które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

$F(r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F(r) + F(s),$

co dowodzi, że $F$ jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności $F$ nie jest automorfizmem. Niech $K$ będzie na ciałem $\mathbf F_p(t),$ tzn. ciałem skończonym o $p$ elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym $t.$ Okazuje się, że obraz $F$ nie zawiera $t,$ co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element $K,$ którego obrazem w $F$ jest $t.$ Element ten jest funkcją wymierną $\tfrac{q(t)}{r(t)},$ której $p$-ta potęga $\left(\tfrac{q(t)}{r(t)}\right)^p,$ wynosi $t.$ W związku z tym $p(\deg q - \deg r) = 1,$ co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm $F$ nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by $F$ nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień $R$ ma element nilpotentny rzędu nie większego niż $p.$

Punkty stałe

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy $R,$ które spełniają równość $x^p = x.$ Są to wszystkie pierwiastki równania $x^p - x,$ a ponieważ jest ono stopnia $p,$ to może mieć ono co najwyżej $p$ rozwiązań. Są to dokładnie elementy $0, 1, 2, \dots, p - 1.$ Wynika stąd, że zbiór punktów stałych $F$ jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów $R$ postaci

$x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \dots.$

Przyłożenie $e$-tej iteracji $F$ do pierścienia zawierającego ciało $K$ o $p^e$ elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy $K.$ Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone

Niech $\mathbf F_q$ oznacza ciało skończone o $q$ elementach, gdzie $q = p^e.$ Zgodnie z powyższym rozumowaniem $F$ ustala $\mathbf F^p.$ Jeżeli $e = 2,$ to $F^2,$ druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala $p^2$ elementów, zatem ustala także $\mathbf F^{p^2}.$ W ogólności $F^e$ ustala $\mathbf F^{p^e}.$ Co więcej, $F$ generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech $X$ będzie schematem nad ciałem $k$ charakterystyki $p.$ Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny $U = \operatorname{Spec}\; R$ (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ $X$ jest $k$-schematem, to $k$ zawiera się w $R.$ Powoduje to, iż $R$ musi być pierścieniem charakterystyki $p,$ dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa $F$ dla $R$ jak wyżej. Przekształcenie $F$ komutuje z lokalizacją, przez co $F$ skleja się dając endomorfizm $X.$

Jednakże $F$ nie musi być endomorfizmem $k$-schematów. Jeżeli $k$ nie jest $\mathbf F^p,$ to $F$ nie ustali $k$ i w konsekwencji nie będzie przekształceniem $k$-algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie $F(k) = k^p$ w $k:$ ponieawż $X$ jest $k$-schematem, to jest także $k^p$-schematem. W ten sposób $F$ jest także odwzorowaniem $k^p$-schematów.

Ciała lokalne

Definicja $F$ dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego $L/K$ ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech $L/K$ będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz pierścieniem liczb całkowitych $\mathcal O_K$ ciała $K$ takim, że ciało reszt – liczby całkowite $K$ modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny $\varphi$ – jest ciałem skończonym rzędu $q.$ Jeżeli $\Phi$ jest ideałem pierwszym $L$ nad $\varphi,$ to nierozgałęzienie $L/K$ oznacza, że liczby całkowite ciała $L$ modulo $\Phi,$ ciała reszt $L,$ jest ciałem skończonym rzędu $q^f$ stanowiącym rozszerzenie ciała reszt $K,$ gdzie $f$ oznacza stopień $L/K.$ Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych $\mathcal O_L$ ciała $L$ wzorem

$s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi.$

Ciała globalne

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń $L/K$ ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych $\Phi$ ciała $L$ nierozgałęzionych w $L/K.$ Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu $\Phi$ jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych $L,$ jak w przypadku lokalnym, wzorem

$s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi,$

gdzie $q$ jest rzędem ciała rozkładu $\mathcal O_K \mod \Phi.$

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady

Wielomian $x^5 - x - 1$ ma wyróżnik równy $15 \cdot 151,$ jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej $3;$ jest także nierozkładalny modulo $3.$ Dlatego dołączenie jego pierwiastka $\rho$ do ciała liczb $3$-adycznych $\mathbb Q_3$ daje nierozgałęzione rozszerzenie $\mathbb Q_3(\rho)$ ciała $\mathbb Q_3.$ Można znaleźć obraz $\rho$ w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego $\rho^3.$ co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych $\mathbb Z_3[\rho];$ jest to wielomian czwartego stopnia względem $\rho$ o współczynnikach będących $3$-adycznymi liczbami całkowitymi $\mathbb Z_3.$ Wielomianem tym, modulo $3^8,$ jest

$\rho^3 + 3(460 + 183\rho - 354\rho^2 - 979\rho^3 - 575\rho^4).$

Jest on algebraiczny nad $\mathbb Q$ i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia $\mathbb Q$ w $\mathbb Q_3;$ co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia $120,$ rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki $p$-adyczne.

Jeżeli $L/K$ jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego $\varphi$ wyjściowego ciała $K.$ Rozważając przykładowo rozszerzenie $\mathbb Q(\beta)$ ciała $\mathbb Q$ uzyskanego przez dołączenie pierwiastka $\beta$ spełniającego

$\beta^5 + \beta^4 - 4\beta^3 - 3\beta^2 + 3\beta + 1 = 0$

do $\mathbb Q$ widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

$2\cos\tfrac{2 \pi n}{11},$

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej $\beta:$

$\beta^2 - 2,\; \beta^3 - 3\beta,\; \beta^5 - 5\beta^3 + 5\beta$

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych $2, 3, 5$ i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od $11$ lub postaci $22n + 1$ (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo $p$ dla $p$-tej potęgi pierwiastka $\beta.$

Zobacz też

• ciało doskonałe