Epimorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram przemienny epimorfizmu

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm f\colon X \to Y mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów g_1, g_2\colon Y \to Z spełniony jest warunek

g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2.[1].

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Epimorfizm konormalny[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym[2].

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

\alpha\colon A \rightarrow B.

Jest ono równe grupie ilorazowej B/G, gdzie G jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą \alpha(A).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania "na".
Niech f: X \rightarrow B będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki y_0 \in Y \setminus f(X). Niech y_1 \in f(X)\;. Niech Z = \{y_0, y_1\}\; oraz
g_1(y) = y_1\; dla y \in Y
g_2(y) =
\begin{cases}
y_1, & y \in f(Y)\\
y_0, & y \notin f(Y)
\end{cases}
Wtedy g_0f = g_1f\; i g_0 \neq g_1\;, co jest sprzeczne z tym, że f jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje y_0 \in Y \setminus f(X) i funkcja f jest "na".

Przypisy

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  3. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].