Falki

Falki (z ang. wavelet) to rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

$\psi_{j,k}(t) = \psi(2^{j} \cdot t+k),$

gdzie: j,k – liczby całkowite, $\psi$ – funkcja-matka, $\psi_{j,k}$ – falka o skali j i przesunięciu k (zwana też funkcją falkową),

Funkcje te dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności, zaś ich suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej całkowalnej z kwadratem, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej całkowalnej funkcji okresowej (patrz: transformata Fouriera).

$f(t)=\sum_{j,k\in\Z} 2^j\langle f,\psi_{j,k}\rangle\cdot\psi_{j,k}(t)\qquad \forall f\in L^2(\R,\R)$.

Falki są używane w analizie i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, w kompresji obrazu i dźwięku, do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych oraz w wielu innych dziedzinach. Najprostsze z nich to falki Haara.

funkcja skalująca $\phi$ i falka $\psi$
amplitudy spektrum częstotliwościowego

Zobacz też

• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń liniowa
• transformaty:

• transformata Fouriera
• transformata Laplace'a
• transformata falkowa

• falki:

• Coiflets
• bioortogonalne
• Daubechies

Bibliografia

• Jan T. Białasiewicz, Falki i aproksymacje, WNT, Warszawa 2000, ISBN 83-204-2557-3
• Przemysław Wojtaszczyk, Teoria falek, PWN, Warszawa 2000, ISBN 83-01-13322-8
• Jacek W. Hennel, Zbigniew Olejniczak, Jak zrozumieć falki. Podstawy falkowej analizy sygnałów, ZamKor, Kraków 2010, ISBN 978-83-60793-73-2