Falki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Falki (z ang. wavelet) – rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych w zbiorze liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki (z tzw. funkcji macierzystej) za pomocą przesunięcia i skalowania:

\psi_{j,k}(t) = \psi(2^{j} \cdot t+k),

gdzie: j,kliczby całkowite, \psi – funkcja-matka, \psi_{j,k} – falka o skali j i przesunięciu k (zwana też funkcją falkową),

Funkcje te dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności, zaś ich suma ważona umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej całkowalnej z kwadratem, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej całkowalnej funkcji okresowej (patrz: transformata Fouriera).

f(t)=\sum_{j,k\in\Z} 2^j\langle f,\psi_{j,k}\rangle\cdot\psi_{j,k}(t)\qquad \forall f\in L^2(\R,\R).

Falki są używane w analizie i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych, w kompresji obrazu i dźwięku, do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych[1] oraz w wielu innych dziedzinach. Najprostsze z nich to falki Haara[2].

funkcja skalująca \phi i falka \psi Daubechies4-functions.png Daubechies12-functions.png Daubechies20-functions.png
amplitudy spektrum częstotliwościowego Daubechies4-spectrum.png Daubechies12-spectrum.png Daubechies20-spectrum.png

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło falka w Wikisłowniku
Commons in image icon.svg
  • falki:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Manuel Castellet: Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Berlin: Birkhäuser Verlag AG, 2009. ISBN 978-3-7643-8939-0.
  2. Mariusz Ziółko: Modelowanie zjawisk falowych. Kraków: Wydawnictwa AGH, 2000. ISBN 83-88-40855-0.