Filtracja (matematyka)

Filtracja – pojęcie w matematyce oznaczające indeksowaną rodzinę podstruktur ustalonej struktury, gdzie rodzina indeksów jest uporządkowana liniowo a podstruktury są rosnące (wraz ze wzrostem indeksów). Ścisłe sformułowanie definicji zależy od kontekstu i dziedziny matematyki w której pojęcie to jest rozważane.

Teoria miary

W teorii miary, filtracją nazywamy niemalejącą rodzinę $\sigma$-ciał $(F_t)_{t \in \tau}$, tzn. $F_s \subset F_t \subset F$ dla $s<t$ oraz $s,t \in \tau$.

Czasem mówi się, że filtracja spełnia tzw. warunki zwykłe.

Definicja

Filtracja $F$ spełnia warunki zwykłe, gdy jest prawostronnie ciągła, tzn. dla każdego $t$ zachodzi równość $F_t = F_{t+}$, gdzie $F_{t+} = \bigcap_{t<s} F_s$, oraz jest zupełna, tzn. każde $\sigma$-ciało $F_t$ jest zupełne.

Teoria group

W teorii group, filtracja grupy G to malejący ciąg dzielników normalnych $G_n\vartriangleleft G$, $G_{n+1}\subseteq G_n$ (dla $n\in {\mathbb N}$).