Flaga (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Flaga – w algebrze liniowej, dziale matematyki, rosnący ciąg podprzestrzeni skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej V, gdzie wyraz „rosnący” oznacza, iż każda z przestrzeni jest właściwą podprzestrzenią kolejnej (zob. filtracja):

\{\mathbf 0\} = V_0 \sub V_1 \sub V_2 \sub \dots \sub V_k = V.

Jeżeli \dim V_j = d_j, to

0 = d_0 < d_1 < d_2 < \dots < d_k = n,

gdzie n oznacza wymiar V (przyjmując, że jest ona skończeniewymiarowa). Stąd musi być k \leqslant n. Flagę nazywa się zupełną, jeżeli d_j = j, w przeciwnym wypadku nazywa się ją częściową.

Flagę częściową można otrzymać z zupełnej poprzez usunięcie pewnej liczby podprzestrzeni i odwrotnie: każda flaga częściowa może być uzupełniona (na wiele różnych sposobów) poprzez wstawianie odpowiednich podprzestrzeni.

Ciąg (d_1, \dots, d_k) wymiarów podprzestrzeni z których się składa, nazywa się sygnaturą flagi.

Bazy[edytuj | edytuj kod]

O uporządkowanej bazie V mówi się, że jest adaptowana do flagi, jeżeli pierwsze d_i wektorów bazowych stanowi bazę V_j dla każdego 0 \leqslant j \leqslant k. Za pomocą standardowych twierdzeń algebry liniowej można dowieść, że każda flaga ma bazę adaptowaną.

Dowolna baza uporządkowana może być przekształcona w flagę zupełną przyjmując, iż każda z podprzestrzeni V_j jest rozpięta przez pierwsze i wektorów bazowych. Na przykład flaga standardowa w \mathbb R^n jest indukowana za pomocą bazy standardowej (e_1, \dots, e_n), gdzie e_j oznacza wektor z 1 na j-tej współrzędnej i z 0 na pozostałych. Mianowicie jest to ciąg podprzestrzeni:

K^0 = \{\mathbf 0\} < \langle e_1 \rangle < \langle e_1, e_2 \rangle < \dots < \langle e_1, \dots, e_n \rangle = K^n.

Baza adaptowana prawie nigdy nie jest wyznaczona jednoznacznie (trywialne kontrprzykłady); zobacz niżej.

Flaga zupełna na przestrzeni unitarnej ma w zasadzie wyznaczoną jednoznacznie bazę ortonormalną: jest ona jednoznaczna co do mnożenia każdego z wektorów przez jedność (skalar jednostkowy, jak np. 1, -1, i). Najłatwiej wynik ten osiągnąć za pomocą indukcji zauważając, że v_j \in V_{j-1}^\perp < V_j, co definiuje ją jednoznacznie co do jedności.

Bardziej abstrakcyjnie: jest ona wyznaczona jednoznacznie co do działania torusa maksymalnego – flaga odpowiada podgrupie Borela, a iloczyn skalarny jest odpowiednikiem maksymalnej podgrupy zwartej.

Stabilizator[edytuj | edytuj kod]

Podgrupa stabilizatora standardowej flagi grupą odwracalnych macierzy górnotrójkątnych.

Ogólniej, stabilizator flagi (złożony z operatorów liniowych T działających na V takich, że T(V_j) < V_j dla każdego j) jest, w języku macierzy, algebrą górnotrójkątnych macierzy klatkowych (względem bazy adaptowanych), gdzie klatki są stopnia d_j-d_{j-1}. Podgrupą stabilizatora flagi zupełnej jest górnotrójkątnych macierzy odwracalnych względem dowolnej bazy adaptowanej do flagi. Podgrupa macierzy dolnotrójkątnych względem takiej bazy zależy od tej bazy i z tego powodu nie może być scharakteryzowana wyłącznie za pomocą języka flag.

Podgrupa stabilizatora dowolnej flagi zupełnej jest podgrupą Borela (pełnej grupy liniowej), a stabilizator dowolnej flagi częściowej to podgrupa paraboliczna.

Podgrupa stabilizatora flagi działa w sposób regularny na bazach adaptowanych do flagi, tak więc nie są one wyznaczone w sposób jednoznaczny, o ile stabilizator nie jest trywialny, co zdarza się w wyjątkowej sytuacji: wyłącznie dla przestrzeni liniowej wymiaru 0 lub przestrzeni liniowej nad \mathbf F_2 wymiaru 1 (a więc dokładnie w tych przypadkach, gdy istnieje dokładnie jedna baza, niezależnie od jakiejkolwiek flagi).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Gniazdo podprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: algebra gniazdowa.

W nieskończeniewymiarowej przestrzeni V, jaką spotyka się w analizie funkcjonalnej, ideę flagi uogólnia się do gniazda podprzestrzeni (ang. subspace nest). Jest to uporządkowany liniowo (za pomocą inkluzji) zbiór podprzestrzeni V zamknięty ze względu na branie przekrojów i powłok liniowych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]