Forma kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia[1].

Formy kwadratowe są ściśle powiązane z formami dwuliniowymi danej przestrzeni – dowolna symetryczna forma dwuliniowa określa jednoznacznie formę kwadratową i odwrotnie: każda forma kwadratowa definiuje pewną symetryczną formę dwuliniową; przykładowo przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym), odpowiadająca jej forma kwadratowa definiuje kwadrat normy indukowanej przez ten iloczyn skalarny, a więc służy wprowadzeniu pojęcia „długości” wektorów.

O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem \scriptstyle K charakterystyki różnej od 2.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: forma dwuliniowa.

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K. Przekształcenie \scriptstyle Q\colon V \to K nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na \scriptstyle V, jeżeli:

Funkcję \scriptstyle B w drugim z powyższych wzorów nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą bądź stowarzyszoną z \scriptstyle Q; jest ona symetryczna. Czynnik \scriptstyle \frac{1}{2} jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których \scriptstyle 2 = 0; formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji. Niech dalej \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru \scriptstyle n. Wówczas wybranie bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia \scriptstyle Q w postaci jednorodnej, kwadratowej funkcji wielomianowej[3]. Z drugiej strony dowolna jednorodna funkcja wielomianowa drugiego stopnia \scriptstyle V \to K zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na \scriptstyle V[4].

Formę kwadratową \scriptstyle Q można wyrazić za pomocą odpowiadającej jej formy dwuliniowej \scriptstyle B podstawiając \scriptstyle \mathbf y = \mathbf x, tzn.

B(\mathbf x, \mathbf x) = \tfrac{1}{2}\bigl(Q(2\mathbf x) - 2Q(\mathbf x)\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(4Q(\mathbf x) - 2Q(\mathbf x)\bigr) = Q(\mathbf x),

odwrotnie: każda symetryczna forma dwuliniowa \scriptstyle B definiuje formę kwadratową \scriptstyle Q na mocy powyższego wzoru, która jest stowarzyszona z \scriptstyle B[5]. Istnieje wtedy (liniowa) bijekcja między formami kwadratowymi na \scriptstyle V a symetrycznymi formami dwuliniowymi na tej przestrzeni. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe[6].

Przestrzeń \scriptstyle (V, Q) nazywa się przestrzenią kwadratową. Przestrzenie \scriptstyle (V_1, Q_1) i \scriptstyle (V_2, Q_2) nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy \scriptstyle \mathrm A\colon V_1 \to V_2, że \scriptstyle Q_2\displaystyle(\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x)\displaystyle)\scriptstyle = Q_1(\mathbf x) dla wszystkich \scriptstyle \mathbf x \in V_1. Ortogonalną sumą prostą \scriptstyle V_1 \perp V_2 przestrzeni \scriptstyle (V_1, Q_1) i \scriptstyle (V_2, Q_2) nazywa się sumę prostą przestrzeni \scriptstyle V_1 \oplus V_2 z formą kwadratową \scriptstyle Q(\mathbf x_1, \mathbf x_2) = Q_1(\mathbf x_1) + Q_2(\mathbf x_2). Na oznaczenie \scriptstyle n-krotnej ortogonalnej sumy prostej przestrzeni kwadratowej \scriptstyle V ze sobą będzie stosowany zapis \scriptstyle V^{\perp n}. Wektorem izotropowym względem \scriptstyle Q (bądź \scriptstyle V) nazywa się taki niezerowy wektor \scriptstyle \mathbf x \in V, dla którego \scriptstyle Q(\mathbf x) = 0. Innymi słowy jest to wektor będący nietrywialnym rozwiązaniem \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = 0, czyli niezerowy wektor ortogonalny sam do siebie.

Macierz formy[edytuj | edytuj kod]

Wybierając bazę w \scriptstyle V otrzymuje się kolejną (liniową) bijekcję form kwadratowych z macierzami symetrycznymi stopnia \scriptstyle n. W ten sposób symetrycznej formie dwuliniowej \scriptstyle B z działaniem \scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{MY} w notacji macierzowej, gdzie \scriptstyle \mathbf M jest macierzą tej formy, odpowiada forma kwadratowa \scriptstyle Q z działaniem \scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{MX} w notacji macierzowej z tą samą macierzą \scriptstyle \mathbf M nazywaną macierzą formy kwadratowej (macierzą funkcjonału kwadratowego) względem ustalonej bazy[7]. Zmiana bazy przekształca macierz \scriptstyle \mathbf M w macierz \scriptstyle \mathbf C^\mathrm T \mathbf{MC}, gdzie \scriptstyle \mathbf C jest macierzą zamiany bazy (pewnej macierzy odwracalnej); innymi słowy macierze danej formy kwadratowej (wyrażone w dowolnych bazach) są przystające.

Wyróżnikiem formy kwadratowej \scriptstyle Q nazywa się \scriptstyle \Delta_Q = \det \mathbf M modulo niezerowe kwadraty, gdzie \scriptstyle \mathbf M jest macierzą tej formy. Forma kwadratowa jest niezdegenerowana lub nieosobliwa, gdy jej (symetryczna) macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyróżnik.

Diagonalizacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: diagonalizacja.

Forma kwadratowa \scriptstyle Q jest w postaci diagonalnej, jeśli dana jest jako suma kwadratów; równoważnie: jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna (wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe zeru).

Twierdzenie Lagrange'a 
Istnieje baza, w której dana forma kwadratowa \scriptstyle Q ma postać diagonalną, tzn. \scriptstyle Q\left(\sum_{i = 1}^n x_i \mathbf e_i\right) = \sum_{i = 1}^n a_i x_i^2, a jej wyróżnik w tej bazie wynosi \scriptstyle a_1 \dots a_n \bmod (K^*)^2[8].

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej formy dwuliniowej: należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora \scriptstyle \mathbf e_1, dla którego \scriptstyle Q(\mathbf e_1) \ne 0, następnie wybrać z podprzestrzeni \scriptstyle \mathbf e_1^\perp taki wektor \scriptstyle \mathbf e_2, że \scriptstyle Q(\mathbf e_2) \ne 0; wektory \scriptstyle \mathbf e_1 i \scriptstyle \mathbf e_2 są ortogonalne i liniowo niezależne; następnie należy przejść do \scriptstyle \mathbf e_1^\perp \cap \mathbf e_2^\perp i wskazać w niej wektor \scriptstyle \mathbf e_3, że \scriptstyle Q(\mathbf e_3) \ne 0 itd. Proces kończy się na podprzestrzeni, na której \scriptstyle Q zeruje się tożsamościowo: jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której \scriptstyle Q ma postać diagonalną; w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą \scriptstyle Q na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej \scriptstyle Q określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne: (a) ma ona postać \scriptstyle x^2 - y^2 w pewnej bazie; (b) jej wyróżnik jest równy \scriptstyle -1; (c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

W tej sekcji \scriptstyle Q będzie niezdegenerowana, zaś \scriptstyle K oznaczać będzie liczby rzeczywiste \scriptstyle \mathbb R, liczby zespolone \scriptstyle \mathbb C lub dowolne ciało skończone \scriptstyle \mathbb F nieparzystej charakterystyki.

Sygnatura[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie[9] 
Każda forma kwadratowa na \scriptstyle \mathbb C^n jest równoważna z \scriptstyle \mathbf x_1^2 + \dots + \mathbf x_n^2 (jest diagonalizowalna), dowolna forma kwadratowa na \scriptstyle \mathbb R^n jest równoważna z \scriptstyle \mathbf x_1^2 + \dots + \mathbf x_p^2 - \mathbf x_{p + 1}^2 - \dots - \mathbf x_n^2 dla pewnego jednoznacznie wyznaczonego \scriptstyle p \in [0, n].

Innymi słowy formy kwadratowe wprowadzają na \scriptstyle \mathbb R^n geometrie pseudoeuklidesowe \scriptstyle \mathbb R^{p,q} (w szczególnym przypadku: euklidesową), gdzie \scriptstyle n = p + q. Jeśli \scriptstyle p + q = p' + q', to \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{p, q} i \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle_{p', q'} są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle p = p' i \scriptstyle q = q'. Zatem forma kwadratowa na \scriptstyle \mathbb R^n jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równoważności przez parę \scriptstyle (p, q), którą można uzyskać z diagonalizacji: \scriptstyle p jest liczbą znaków dodatnich, a \scriptstyle q = n - p to liczba znaków ujemnych – parę tę nazywa się sygnaturą formy kwadratowej (niektórzy sygnaturą nazywają liczbę \scriptstyle p, gdyż jest ona jednoznacznie wyznaczona przy danym \scriptstyle n).

Określoność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: określoność formy.

Formę kwadratową \scriptstyle Q na przestrzeni liniowej nad \scriptstyle \mathbb R nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli \scriptstyle Q(\mathbf x) > 0 i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy \scriptstyle Q(\mathbf x) < 0 dla wszystkich \scriptstyle \mathbf x \ne \mathbf 0[10] Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru \scriptstyle n są równoważne sumie \scriptstyle n kwadratów, a co za tym idzie są sobie równoważne; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych.

Uniwersalność[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \scriptstyle Q jest określona na przestrzeni \scriptstyle V co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym \scriptstyle K, to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy \scriptstyle Q, tzn. \scriptstyle Q(V) = K[11][12]. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna[13].

Twierdzenie 
Niech \scriptstyle c \in K^* będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru \scriptstyle n \geqslant 1 nad ciałem skończonym \scriptstyle K jest równoważna z dokładnie jedną formą na \scriptstyle K^n, mianowicie \scriptstyle x_1^2 + \dots + x_n^2 lub \scriptstyle x_1^2 + \dots + x_{n - 1}^2 + cx_n^2. W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku i polaryzacja[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej formy kwadratowej \scriptstyle Q zachodzi wzór

Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2\bigl(Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y)\bigr)

nazywany regułą równoległoboku[14]. Podobny wzór

Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y) = 4B(\mathbf x, \mathbf y)

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową \scriptstyle B za pomocą formy kwadratowej \scriptstyle Q, jednak w inny sposób niż podany w definicji. Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Twierdzenie Jordana–von Neumanna 
Niech \scriptstyle Q\colon V \to K spełnia \scriptstyle Q(\mathbf x + \mathbf y) + Q(\mathbf x - \mathbf y) = 2Q(\mathbf x) + 2Q(\mathbf y), zaś \scriptstyle B\colon V \times V \to K będzie określona wzorem \scriptstyle 4B(\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x - \mathbf y). Wówczas \scriptstyle B jest symetryczna, dwuaddytywna i zachodzi \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = Q(\mathbf x).

Dwuaddytywność pociąga \scriptstyle \mathbb Z-dwuliniowość. Stąd \scriptstyle B z powyższego twierdzenia jest \scriptstyle \mathbb Q-dwuliniowa, jeśli \scriptstyle K jest charakterystyki zero lub \scriptstyle \mathbb F-dwuliniowa, jeśli \scriptstyle K jest charakterystyki \scriptstyle p. Oznacza to, że jeśli \scriptstyle K = \mathbb Q lub \scriptstyle \mathbb F, to forma \scriptstyle Q jest kwadratowa. Jeżeli \scriptstyle K = \mathbb R, to forma \scriptstyle Q jest kwadratowa, o ile \scriptstyle V jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że \scriptstyle Q jest ciągła (co pociąga ciągłość \scriptstyle B, a stąd jej \scriptstyle \mathbb R-dwuliniowość).

Przy oznaczeniach \scriptstyle \|\cdot\| = Q(\cdot) oraz \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle = B(\cdot, \cdot) i przyjęciu \scriptstyle K = \mathbb R, \mathbb C powyższe twierdzenie mówi w szczególności, że w dowolnej przestrzeni Banacha \scriptstyle X z normą \scriptstyle \|\cdot\|, w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle za pomocą tożsamości polaryzacyjnej, co czyni z \scriptstyle X przestrzeń Hilberta.

Ciała charakterystyki 2[edytuj | edytuj kod]

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem \scriptstyle K charakterystyki 2.

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie \scriptstyle Q\colon V \to K nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na \scriptstyle V, jeżeli:

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz \scriptstyle \mathbf N formy kwadratowej \scriptstyle Q jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz \scriptstyle \mathbf N + \mathbf N^\mathrm T odpowiadającej jej formy dwuliniowej \scriptstyle B jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej[15]. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki[16], jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa związana z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974
  • Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  • Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ISBN 83-01-03903-5
  • Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Niektórzy autorzy terminy „forma” i „funkcjonał” bądź traktują synonimicznie, bądź stosują tylko jeden z nich, np. Komorowski (s. 104) i Więsław (s. 217) używają jedynie określenia „forma kwadratowa” podając definicję odwzorowania przestrzeni liniowej w ciało skalarów. Inni, np. Gleichgewicht (ss. 179-180), czy Newelski (rozdz. 14), odróżniają „funkcjonał” (przekształcenie, funkcja wielomianowa, przedstawienie niezależne od współrzędnych) od „formy” (wyrażenie formalne, wielomian, przedstawienie w bazie). W tym podejściu „forma kwadratowa” jest przedstawieniem „funkcjonału kwadratowego” w ustalonej bazie, co wyjaśniono w definicji; w tym artykule nie stosuje się tej konwencji.
  2. Poniższy warunek można przedstawić w dogodniejszej postaci \scriptstyle Q(\mathbf x + \mathbf y) = Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y) + 2B(\mathbf x, \mathbf y); w szczególności \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = 0 jest równoważne \scriptstyle Q(\mathbf x + \mathbf y) = Q(\mathbf x) + Q(\mathbf y), co czyni z \scriptstyle Q funkcję addytywną tej przestrzeni liniowej.
  3. Indukcja po liczbie wyrazów daje \scriptstyle Q(\mathbf x_1 + \dots + \mathbf x_k) =  \sum_{i = 1}^k Q(\mathbf x_i) + 2\sum_{i < j} B(\mathbf x_i, \mathbf x_j) dla dowolnego \scriptstyle k \geqslant 2 i wektorów \scriptstyle x_i \in V. Stąd jeżeli \scriptstyle \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} jest bazą tej przestrzeni, to \scriptstyle Q(x_1 \mathbf e_1 + \dots + x_n \mathbf e_n) = \sum_{i = 1}^n q_i x_i^2 + \sum_{i < j} q_{ij} x_i x_j, gdzie \scriptstyle q_i = Q(\mathbf e_i) oraz \scriptstyle q_{ij} = 2B(\mathbf e_i, \mathbf e_j).
  4. Otóż jeśli \scriptstyle Q(x_1 \mathbf e_1 + \dots + x_n \mathbf e_n) jest postaci wielomianowej jak wyżej, to natychmiast otrzymuje się pierwszą część definicji, \scriptstyle Q(c \mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x) dla dowolnego \scriptstyle c \in K, z kolei dla \scriptstyle \mathbf x = x_1 \mathbf e_1 + \dots + x_n \mathbf e_n oraz \scriptstyle \mathbf y = y_1 \mathbf e_1 + \dots + y_n \mathbf e_n uzyskuje się drugą, \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = \frac{1}{2}\displaystyle(\scriptstyle Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y)\displaystyle)\scriptstyle = \sum_{i = 1}^n q_i x_i y_i + \frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} q_{ij}(x_i y_j + y_i x_j), przy oznaczeniach \scriptstyle q_i = Q(\mathbf e_i) oraz \scriptstyle q_{ij} = 2B(\mathbf e_i, \mathbf e_j). W notacji macierzowej wzór ten można wyrazić jako \scriptstyle \mathbf X \cdot \mathbf{MY}, gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych \scriptstyle K^n, zaś \scriptstyle \mathbf X = [x_1\ \dots\ x_n], \scriptstyle \mathbf Y = [y_1\ \dots\ y_n]^\mathrm T oraz
    \scriptstyle \mathbf M = \left[\begin{smallmatrix} q_1 & \frac{1}{2} q_{12} & \dots & \frac{1}{2} q_{1n} \\ \frac{1}{2} q_{12} & q_2 & \dots & \frac{1}{2} q_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{2} q_{1n} & \frac{1}{2} q_{2n} & \dots & q_n \end{smallmatrix}\right]
    jest macierzą formy dwuliniowej na \scriptstyle V, co czyni zadość definicji formy kwadratowej.
  5. Przykładowo \scriptstyle Q jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle B jest tożsamościowo równa zeru.
  6. Na mocy tożsamości polaryzacyjnej.
  7. Wynika to wprost z zapisania \scriptstyle Q w postaci wielomianowej z macierzą \scriptstyle \mathbf M o postaci jak w przypisie wyżej.
  8. Niech \scriptstyle \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} będzie bazą ortogonalną stowarzyszonej z \scriptstyle Q symetrycznej formy dwuliniowej \scriptstyle B (istnieje zawsze dla ciał charakterystyki różnej od 2); w bazie tej wyrazy mieszane znikają, a więc \scriptstyle Q jest w postaci diagonalnej; macierz \scriptstyle \mathbf M jest wówczas diagonalna, a więc jej wyróżnik jest wymaganej postaci.
  9. Twierdzenie to można uogólnić na zdegenerowane formy kwadratowe – nazywa się je wtedy twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych.
  10. Niezdegenerowane formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się nieokreślonymi. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach określonych niedodatnio i nieujemnie (bądź półokreślonych dodatnio i ujemnie).
  11. Niech \scriptstyle \mathbf x \ne \mathbf 0 będzie wektorem, dla którego \scriptstyle Q(\mathbf x) = 0; ponieważ \scriptstyle Q(c\mathbf x) = c^2 Q(\mathbf x) = 0, a \scriptstyle Q \not\equiv 0 (z niezdegenerowania), to \scriptstyle \dim V \geqslant 2; z niezdegenerowania formy istnieje \scriptstyle \mathbf y \in V, dla którego stowarzyszona forma dwuliniowa \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) \ne 0. Wówczas dla dowolnego \scriptstyle c \in K zachodzi \scriptstyle Q(c\mathbf x + \mathbf y) = Q(c\mathbf x) + Q(\mathbf y) + 2B(c\mathbf x, \mathbf y) = Q(\mathbf y) + 2B(\mathbf x, \mathbf y)c, czyli jest to funkcja liniowa zmiennej \scriptstyle c, która przyjmuje wszystkie wartości z \scriptstyle K.
  12. Twierdzenie jest fałszywe, gdy \scriptstyle Q jest zdegenerowana, np. \scriptstyle Q(x, y) = x^2 na \scriptstyle \mathbb R^2, gdzie \scriptstyle Q(0, 1) = 0.
  13. Po przedstawieniu formy w postaci diagonalnej wystarczy dowieść, iż wielomian postaci \scriptstyle ax^2 + by^2 przyjmuje wszystkie wartości z \scriptstyle K dla \scriptstyle a, b \in K^*; otóż forma \scriptstyle x^2 - cy^2, gdzie \scriptstyle c \in K^* jest niekwadratem, przyjmuje zero wyłącznie dla \scriptstyle x = y = 0, co dowodzi różnowartościowości tej funkcji liniowej zmiennej \scriptstyle c. Wynik ten tłumaczy też dlaczego ograniczenie \scriptstyle \dim V \geqslant 3 w pierwszym twierdzeniu jest ostre.
  14. Wzór ten łatwo wyprowadzić z alternatywnej postaci drugiego wzoru definiującego: wystarczy dodać go do siebie, przy czym jeden z nich z podstawieniem \scriptstyle \mathbf y = -\mathbf y. Odjęcie ze wspomnianym podstawieniem daje kolejny.
  15. Formalnie jest to macierz \scriptstyle \mathbf M pomnożona przez 2.
  16. Wówczas związek między formą kwadratową \scriptstyle Q a odpowiadającą jej symetryczną formą dwuliniową wyraża się wzorem \scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf x) = 2Q(\mathbf x).