Forma liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K. Przekształcenie \scriptstyle \varphi\colon V \to K nazywa się formą liniową albo funkcjonałem liniowym (bądź kowektorem), jeżeli jest ona

równoważnie można powiedzieć, że jest liniowa, tj. spełnia

\forall_{c,d\in \scriptstyle K} \forall_{\mathbf x,\mathbf y \in V}~ \varphi(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\varphi(\mathbf x) + d\varphi(\mathbf y).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż \scriptstyle K może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna \scriptstyle \{0\} lub niewłaściwa \scriptstyle K. Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \scriptstyle f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R dana wzorem \scriptstyle f(x, y, z) = x + 2y + 3z.
  • \scriptstyle I\colon C[a,b] \to \mathbb R dana wzorem \scriptstyle I(f) = \int\limits_a^b~f(x) \mathrm dx.
Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przestrzeń funkcjonałów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: moduł dualnyprzestrzeń dualna.

Zbiór \scriptstyle \mathrm{Hom}(V, K) wszystkich form liniowych \scriptstyle V \to K tworzy przestrzeń liniową (por. przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych, \scriptstyle \varphi + \psi, i ich mnożenia przez skalar, \scriptstyle c\varphi, określonymi „punktowo”, tj.

(\varphi + \psi)(\mathbf x) = \varphi(\mathbf x) + \psi(\mathbf x)

oraz

(c\varphi)(\mathbf x) = c \varphi(\mathbf x).

Wspomnianą przestrzeń nazywa się przestrzenią dualną (lub sprzężoną) do przestrzeni \scriptstyle V i oznacza symbolem \scriptstyle V^\star. W przypadku, gdy \scriptstyle V jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkową strukturą topologiczną, tj. przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się do podprzestrzeni \scriptstyle V' wszystkich tych form liniowych, które są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).

Jeśli \scriptstyle V jest skończeniewymiarowa, to \scriptstyle V^\star = V', gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie \scriptstyle V oraz \scriptstyle V^\star są równego wymiaru, co oznacza, iż są one izomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymi przestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej dualną umożliwia za pomocą formy dwuliniowej bądź formy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste lub zespolone) umożliwia uprawianie na niej geometrii – standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenie iloczynu skalarnego – ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”, wynika to z faktu, iż kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob. dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.