Forma modularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Forma modularna – w matematyce, funkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w topologii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech N będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna \Gamma_0(N) zdefiniowana jest w sposób następujący:

\Gamma_0(N) = \left\{ 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb Z) :
c \equiv 0 \pmod{N} \right\}.

Niech k będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru k poziomu N nazywamy funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyznie zespolonej \mathbb H taką, że dla każdego

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)

i dowolnego z \in \mathbb H zachodzi

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)

oraz f jest holomorficzna w ostrzach.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej występuje wiele defincji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas "kanoniczna" definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji a=b=d=1,\ c=0), że każda forma modularna spełnia równanie

f(z+1)=f(z)

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej q=exp(2\pi i z). Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną ilość wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n

gdzie przyjmujemy, że m jest najmniejszą liczbą taką, że c_{-m} \ne 0. Liczbę m nazywamy rzędem osobliwości w biegunie i\infty.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]