Forma półtoraliniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Forma półtoraliniowa albo funkcjonał półtoraliniowy – w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej przekształcenie półtoraliniowe danej zespolonej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na jeden parametr (zob. funkcjonał liniowy) i antyliniowy ze względu na drugi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych \scriptstyle \mathbb C. Przekształcenie \scriptstyle S\colon V \times V \to \mathbb C nazywa się formą półtoraliniową albo funkcjonałem półtoraliniowym na \scriptstyle V, jeżeli jest:

  • liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu,
    S(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z) = S(\mathbf x, \mathbf z) + S(\mathbf y, \mathbf z) oraz S(c\mathbf x, \mathbf y) = cS(\mathbf x, \mathbf y),
  • antyliniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i sprzężenie jednorodne względem drugiej współrzędnej,
    S(\mathbf x, \mathbf y + \mathbf z) = S(\mathbf x, \mathbf y) + S(\mathbf x, \mathbf z) oraz S(\mathbf x, c\mathbf y) = \overline cS(\mathbf x, \mathbf y).

Przyjmuje się również definicje (szczególnie w fizyce), w których to pierwszy argument jest antyliniowy, a drugi liniowy; jeśli \scriptstyle V jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to forma półtoraliniowa staje się formą dwuliniową.