Forma różniczkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

W dalszej części artykułu niech k będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech P będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni \mathbb{R}^k.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

k-płatem klasy Cr (ang. singular cube of k dimensions) w zbiorze \Omega\subseteq \mathbb{R}^k nazywa się funkcję różniczkowalną s_k\colon P\to \Omega klasy Cr, r ≥ 0. W przypadku, gdy k=0, to za s_k przyjmuje się punkt w zbiorze \Omega. Wygodnie jest dokonywać utożsamienia s_k=(P, \Phi), tzn. traktować s_k jako parę złożoną ze zbioru argumentów P oraz odwzorowania \Phi klasy Cr pewnego otoczenia otwartego zbioru P (utożsamienie to nawiązuje do procesu parametryzacji krzywej na płaszczyźnie czy w przestrzeni).

Niech nk będzie liczbą naturalną oraz a_{i_1, \ldots, i_k} będą funkcjami klasy C^p zmiennej x\in \mathbb{R}^n. W przypadku, gdy k=0 zdefinujmy

\omega=a_0(x).

Ponadto, niech s_k=(P, \Phi) będzie k-płatem w \Omega\subseteq \mathbb{R}^n. Formą różniczkową (rzędu k albo k-formą) postaci

\omega=\sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k=1}^n a_{i_1, \ldots, i_k}(x)dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge \ldots \wedge dx_{i_k}

nazywa się funkcję \omega, która płatowi s_k przyporządkowuje liczbę

\langle s_k, \omega \rangle= \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k=1}^n \int\limits_P a_{i_1, \ldots, i_k}(\Phi(t))\cdot \det \left[ \frac{\partial x_{i_p}}{\partial t^m}\right]_{p,m=1,\ldots, k} \lambda^k(dt),

gdzie \lambda^k oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni \mathbb{R}^k oraz t=(t_1, \ldots, t_k). Oznaczając krótko I=(i_1, \ldots, i_k), gdzie 0 ≤ imn oraz dx_I := dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}, formy różniczkowe można zapisywać krótko w postaci

\omega = \sum_I a_I(x)\,dx_I\,.

Liczbę \langle s_k, \omega \rangle oznacza się krótko symbolem

\int\limits_\Phi \omega

i nazywa całką z formy \omega względem \Psi. W przypadku, gdy k=1 całkę tę nazywa się po prostu całką krzywoliniową. Formy różniczkowe są funkcjami w zbiorze płatów, a więc można punktowo wprowadzić działania dodawania i mnożenia przez skalar form różniczkowych; innymi słowy rodzina form różniczkowych (przy ustalonych k i n) tworzy przestrzeń liniową.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech \gamma będzie taką krzywą klasy C1 na płaszczyźnie, że

\gamma=\{(\gamma_1(t), \gamma_2(t))\colon\, 0\leqslant t \leqslant 1\}

oraz niech dana będzie forma \omega=xdy+ydx. Wówczas

\int\limits_\gamma \omega = \int_0^1 [\gamma_1(t)\gamma_2^\prime(t)+\gamma_2(t)\gamma_1^\prime(t)]dt=\gamma_1(1)\gamma_2(1)-\gamma_1(0)\gamma_2(0).

Wartość całki krzywoliniowej w powyższym przypadku nie zależy od kształtu krzywej, a jedynie od jej punktów końcowych. W szczególności, całka po krzywej zamkniętej zeruje się.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Wyrażenie dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k} zmienia znak na przeciwny przy zamianie sąsiednich symboli dx_{i_m} i dx_{i_{m+1}}.
  • Każdą formę różniczkową można sprowadzić do postaci kanonicznej, tzn. takiej postaci, że funkcje a_{i_1, \ldots, i_k} są, być może, różne od zera tylko dla i_1<i_2<\ldots < i_k. Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest warunek równości dwu form - dwie formy różniczkowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki w ich postaciach kanonicznych są równe. Ponadto, dla k>n każda forma \omega postaci jak wyżej jest równa zeru.

Iloczyn zewnętrzny form. Algebra Zewnętrzna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \omega i \eta są, odpowiednio, k- i m-formami postaci

\omega=\sum_I a_I dx_I,\, \eta=\sum_J b_J dx_J,

to można wprowadzić tzw. iloczyn zewnętrzny form \omega i \eta, tzn. (k+m)-formę \omega \wedge \eta daną wzorem

\omega \wedge \eta=\sum_{I,J}a_{i_1, \ldots, i_k}b_{j_1, \ldots, j_m}dx_{i_1}\wedge \ldots \wedge dx_{i_k}\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots \wedge dx_{j_m}.

Iloczyn zewnętrzny ma następujące własności:

  • (\omega_1 \wedge \omega_2) \wedge \omega_3 = \omega_1 \wedge (\omega_2 \wedge \omega_3),
  • (\omega_1 + \omega_2) \wedge \omega_3 = \omega_1 \wedge \omega_3 + \omega_2 \wedge \omega_3,
  • Jeżeli \omega_1 jest k-formą, \omega_2 jest m-formą, to
\omega_1 \wedge \omega_2 = (-1)^{km}(\omega_2 \wedge \omega_1).

Niech symbol \upsilon_k(\Omega) oznacza zbiór wszystkich k-form na \Omega klasy C oraz

\upsilon(\Omega)=\bigcup_{k=0}^n \upsilon_k(\Omega).

Oczywiście \upsilon_k(\Omega)=\{0\} dla k>n. \upsilon(\Omega) jest domkniętny na dodawanie i mnożenie przez skalary (tworzy przestrzeń liniową wymiaru 2^n). Ponadto, jest on domknięty na operację iloczynu zewnętrznego form wraz z którym tworzy algebrę, nazywaną algebrą zewnętrzną.

Różniczka zewnętrzna formy[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \omega jest 0-formą klasy C na \Omega, tzn. \omega=a, gdzie a jest funkcją klasy C na \Omega, to jej różniczką zewnętrzną (nazywaną również różniczką zupełną) nazywa się 1-formę postaci

d\omega(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial a(x)}{\partial x_i}dx_i.

Jeżeli natomiast \omega jest k-formą (k>0) postaci

\omega=\sum_I a_I dx_I\,,

to jej różniczką zewnętrzną nazywa się (k+1)-formę postaci

d\omega=\sum_I(da_I)\wedge dx_I..

Na mocy powyższego, operator różniczkowania zewnętrznego form jest odwzorowaniem d\colon \upsilon_k(\Omega)\to \upsilon_{k+1}(\Omega). Operacja ta ma ponadto, następujące własności:

  • jeżeli \omega jest k-formą, \eta jest l-formą, to
d(\omega \wedge \eta)=d\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge d\eta,
  • jeżeli \omega\in \upsilon(\Omega), to d^2\omega = d(d\omega)=0\,.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]